Esercizio 1 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente disequazione in $\mathbb{R}$

$$2(\sin(x)+3)-1 < 3(1-\sin(x))+2$$

Soluzione:

Come prima cosa svolgiamo i conti e sistemiamo la disequazione

$$ \begin{aligned} 2(\sin(x)+3)-1 & < 3(1-\sin(x))+2 \\ 2\sin(x)+6-1 & < 3-3\sin(x)+2 \\ 2\sin(x)+3\sin(x) & < -6+1+3+2 \\ 5\sin(x) & < 0 \\ \frac{5\sin(x)}{5} & < \frac{0}{5} \\ \sin(x) & < 0 \end{aligned} $$

Ci stiamo quindi chiedendo quando il seno è negativo.

Risolviamo prima l'equazione associata:

$$\sin(x) = 0$$

Nella circonferenza unitaria, gli angoli che hanno seno uguale a zero sono l'angolo $0$ e $\pi$.

$$\sin(x) = 0 \rightarrow x = 0 \; \vee \; x = \pi$$

Poichè il seno si legge sull'asse delle $y$, devo prendere tutti quegli angoli che vanno da $\pi$ a $2\pi$, ossia che hanno $y$ negativa (in rosso nel grafico di seguito).

La prima soluzione trovata per $\sin(x) < 0$ è quindi

$$\pi < x < 2\pi$$

Poichè il seno è una funzione periodica, dobbiamo tenere conto che ritroviamo le soluzioni ogni giro della circonferenza, ossia ogni $2\pi$. Quindi, la soluzione finale è

$$\pi + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$$

con $k = 0,1,2,3,\dots$