Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione che contiene valori assoluti:
$$3|x|-2 < 2|x| +3$$Soluzione:
Come prima cosa ricordiamo la definizione generale di valore assoluto:
$$ |\ast(x)| = \begin{cases} \ast(x) & \text{se } \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se } \ast(x) < 0 \end{cases} $$Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l'argomento è positivo, mentre è uguale a meno l'argomento, se l'argomento è negativo.
Esempi in breve:
$$ |5x+1| = \begin{cases} 5x+1 & \text{se } 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se } 5x-1 < 0 \end{cases} $$ $$ |-x^3+2x| = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se } -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se } -x^3+2x < 0 \end{cases} $$ $$ |e^x-2x^2+\sin(x)| = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se } e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se } e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} $$L'ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c'è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.
Visto che all'interno della disequazione c'è lo stesso valore assoluto, la sistemiamo portando i valori assoluti a sinistra e il resto a destra:
$$3|x|-2 < 2|x| +3$$ $$3|x| -2|x| < +2+3$$ $$|x| < 5$$Mi sto quindi chiedendo quando un valore assoluto è minore di un numero positivo. Ho due possibilità per risolvere questa disequazione.
CASO 1: mi ricordo la formula
Siamo arrivati a una disequazione in cui ho solo un valore assoluto a sinistra e solo un numero positivo a destra, ossia $|A(x)| < k$ con $k \geq 0$. Se mi ricordo le formule, so che
$$|A(x)| < k \; \; \text{è equivalente a} \; \; -k < A(x) < k$$Nel nostro caso la soluzione arriva direttamente visto che $A(x) = x$ e $k = 5$
$$-5 < x < 5$$CASO 2: non mi ricordo la formula
Se non mi ricordo la formula scritta prima, posso risolvere comunque la disequazione, ma devo sapere la definizione di valore assoluto (quella scritta all'inizio).
$$ |x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases} $$Utilizzando quella infatti spezzo la disequazione in due casi:
$$ |x| < 5 \rightarrow \begin{cases} x < 5 & \text{se } x \geq 0 \\ -x < 5 & \text{se } x < 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 5 & \text{se } x \geq 0 \\ (-1) \cdot (-x) > 5 \cdot (-1) & \text{se } x < 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 5 & \text{se } x \geq 0 \\ x > -5 & \text{se } x < 0 \end{cases} $$Dalla prima riga ottengo le soluzioni $0 \leq x < 5$, mentre dalla seconda riga ottengo $-5 < x < 0$.
Dovendo unire le due soluzioni trovate, ritroviamo esattamente la stessa soluzione trovata al Caso 1:
-5 < x < 5