Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione
$$ (x^2-1)(x^2+5)+12x \geq 2(x+1)(x+5) $$Soluzione:
Svolgiamo tutti i calcoli e portiamo tutto a sinistra:
$$ \begin{aligned} (x^2-1)(x^2+5)+12x & \geq 2(x+1)(x+5) \\ x^4+5x^2-x^2-5+12x & \geq 2(x^2+5x+x+5) \quad \text{{sommo insieme i termini simili}} \\ x^4+4x^2-5+12x & \geq 2(x^2+6x+5) \\ x^4+4x^2-5+12x & \geq 2x^2+12x+10 \qquad \text{{porto tutto a sx}} \\ x^4+4x^2-5\cancel{+12x}-2x^2\cancel{-12x}-10 & \geq 0 \\ x^4+2x^2-15 & \geq 0 \end{aligned} $$Siamo arrivati a una forma che assomiglia molto alla "classica" forma delle disequazioni di secondo grado: tre termini a sinistra, zero a destra. Possiamo "trasformarla" in una disequazione di secondo grado (che so risolvere)?
Sì, facendo una sostituzione. Pongo $t = x^2$ e riscrivo la disequazione nella nuova variabile:
$$ \begin{aligned} x^4+2x^2-15 & \geq 0 \\ (x^2)^2+2(x^2)-15 & \geq 0 \\ t^2+2t-15 & \geq 0 \qquad \text{diseq. di grado $2$} \end{aligned} $$Calcolo l'equazione associata:
$$ \begin{aligned} t^2+2t-15 & = 0 \\ t_{1/2} & = \frac{-2\pm \sqrt{(2)^2-4(1)(-15)}}{2(1)} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} \\ & = \frac{-2 \pm 8}{2} \\ t_1 = -5 \qquad & \vee \qquad t_2 = 3 \end{aligned} $$Disegno la parabola:
Torniamo all'ultima disequazione scritta prima dell'equazione associata:
$$ t^2+2t-15 {\geq} 0 $$Visto che volevamo l'espressione maggiore o uguale a zero, devo scegliere gli intervalli dove c'è il segno più, includendo gli estremi. La soluzione è quindi
$$ t \leq -5 \; \vee \; t \geq 3 $$Abbiamo trovato le soluzioni in $t$: ma in partenza avevamo $x$. Ultimo step importante: tornare nella variabile $x$ sostituendo di nuovo $t = x^2$.
$$ \begin{aligned} t \leq -5 \; & \vee \; t \geq 3 \\ x^2 \leq -5 \; & \vee \; x^2 \geq 3 \\ \underbrace{x^2}_{\text{sempre} \geq 0} \leq -5 \; & \vee \; x^2 \geq 3 \\ \text{impossibile} \; & \vee \; x^2 = 3 \\ \text{impossibile} \; & \vee \; x =\pm \sqrt{3} \\ \text{impossibile} \; & \vee \; x\leq -\sqrt{3} \; \vee \; x \geq \sqrt{3} \end{aligned} $$Quindi la soluzione finale è
$$ x\leq -\sqrt{3} \; \vee \; x \geq \sqrt{3} $$Memo: $\emptyset =$ impossibile e, negli insiemi, $\emptyset \; \cup $ qualsiasi cosa $=$ qualsiasi cosa.