Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione
$$ x^5+x^2-4x^3-4 < 0 $$Soluzione:
Quando ci ritroviamo davanti una disequazione in cui compaiono termini di grado superiore al secondo, tendenzialmente abbiamo tre casi:
- due termini (uno di grado maggiore di $2$ e un numero), in cui basta ragionare ed eventualmente fare la radice;
- tre termini che si possono ricondurre a una disequazione di secondo grado con una sostituzione;
- tutti gli altri casi, in cui devo scomporre e fare lo studio dei segni dei fattori.
Nel nostro caso non possiamo fare operazioni, non abbiamo due termini e neanche tre, quindi siamo nel terzo caso. Dobbiamo scomporre il polinomio e poi fare lo studio dei segni.
$$ \begin{aligned} x^5+x^2-4x^3-4 & < 0 \\ x^2 \cdot (x^3+1) -4 \cdot (x^3+1) & < 0 \\ (x^3+1) \cdot (x^2-4) & < 0 \\ \underbrace{(x^3+1)}_{F_1} \cdot \underbrace{(x+2)}_{F_2} \cdot \underbrace{(x-2)}_{F_3} & < 0 \end{aligned} $$Ho quindi il prodotto di $3$ fattori da studiare. Ricordo che bisogna studiare ogni singolo fattore maggiore di zero e poi fare il castello dei segni (lo studio del segno).
$F_1 > 0 \rightarrow x^3+1 > 0$ : qui ricadiamo nel caso 1. citato all'inizio. Tengo il termine con la $x$ a sinistra e sposto il numero a destra.
$$ \begin{aligned} x^3+1 & > 0 \\ x^3 & > -1 \; \rightarrow \text{{esponente dispari : prendo direttamente la radice}} \\ x & > \sqrt[3]{-1} \\ x & > -1 \end{aligned} $$$F_2 > 0 \rightarrow x+2>0$ che diventa $x > -2$ .
$F_3 > 0 \rightarrow x-2>0$ che diventa $x > +2$ .
Ora che so dove i tre fattori sono positivi, posso costruire il castello dei segni: in una riga scrivo il segno di un fattore, mettendo una $+$ negli intervalli che ho appena trovato. Nell'ultima riga moltiplico (in colonna) tutti i segni.
