Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione
$$ (x-1)^2 + 10x -7(x+1) < 0 $$Soluzione:
Come prima cosa ricordiamo gli step da compiere per risolvere una disequazione di secondo grado.
- svolgere i conti per arrivare a una forma $ax^2+bc+c \gtreqless 0$ con $a > 0$
- risolvere l'equazione associata $ax^2+bx+c=0$
- disegnare la parabola
- scegliere gli intervalli giusti
Svolgiamo i conti nel nostro caso ricordando il prodotto notevole:
$$ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$Quindi ottengo
$$ \begin{aligned} \underbrace{(x-1)^2}_{\text{prod.not.}} + 10x -7(x+1) & < 0 \\ (x)^2-2(x)(1)+(1)^2 +10x-7x-7 & < 0 \\ x^2-2x+1+10x-7x-7 & < 0 \\ x^2+x-6 & < 0 \end{aligned} $$Data la formula generale $ax^2 + bx + c$, nel nostro caso abbiamo $a=+1$, $b=+1$, e $c=-6$. Dato che $a$ è positivo, possiamo procedere e risolvere l'equazione associata:
$$ x^2 + x - 6 = 0 $$Applico la formula
$$ \begin{aligned} \Delta & = (b)^2-4(a)(c) \\ & = (1)^2-4(1)(-6) \\ & = 1+24 \\ & = 25 \\ x_{1/2} & = \frac{-(b) \pm \sqrt{\Delta}}{2(a)} \\ & = \frac{-(1)\pm \sqrt{25}}{2(1)} \\ & = \frac{-1\pm 5}{2} \end{aligned} $$Le due soluzioni sono quindi $x = 2$ e $x = -3$.
Disegno ora la parabola, ricordando che partendo con $a>0$ è sempre una parabola rivolta verso l'alto. Avendo trovato due soluzioni dell'equazione associata, la parabola tocca in due punti l'asse.
Torniamo all'ultima disequazione scritta prima dell'equazione associata:
$$ x^2+x-6 < 0 $$Visto che volevamo l'espressione minore di zero, devo scegliere gli intervalli dove c'è il segno meno. La soluzione è quindi
$$ -3 < x < 2 $$