Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione fratta
$$ \frac{2x^2+3x+5}{x^2-x+3} < -1 $$Soluzione:
Come prima cosa, avendo delle frazioni con l'incognita a denominatore, poniamo le condizioni di esistenza (C.E.): in questo caso dobbiamo imporre che la frazione esista, quindi che il suo denominatore sia diverso da zero.
$$ \begin{aligned} \text{C.E.:} \; x^2-x+3 \neq 0 \end{aligned} $$Risoluzione:
$$ \begin{aligned} x^2-x+3 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{+1\pm \sqrt{1-12}}{2} \\ & = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{2} \end{aligned} $$Attenzione: abbiamo ottenuto che il $\Delta = - 11$ è negativo. Ciò significa che l'equazione che volevamo risolvere non ha soluzione, ossia non esistono valori di $x$ che annullano il denominatore. In altre parole, qualunque valore di $x$ io inserisca in $x^2-x+3$ ottengo sempre un numero diverso da zero. Quindi non ho condizioni di esistenza:
$$ \begin{aligned} \text{C.E.:} \; x^2-x+3 \neq 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R} \end{aligned} $$Per poter poi risolvere la disequazione fratta, dobbiamo arrivare ad avere una forma del tipo
$$ \frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0 $$ossia un'unica frazione a sinistra e zero a destra. Andiamo quindi a sommare i termini a sinistra
$$ \begin{aligned} \frac{2x^2+3x+5}{x^2-x+3}+1 & < 0 \\ \frac{2x^2+3x+5+x^2-x+3}{x^2-x+3} & < 0 \\ \frac{3x^2+2x+8}{x^2-x+3} & < 0 \end{aligned} $$Ci stiamo quindi chiedendo quando quella frazione è negativa: per poter rispondere a questa domanda, dobbiamo andare a studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi, alla fine, moltiplicare i segni. Indipendentemente dal verso della disuguaglianza, vado quindi a vedere quando numeratore e denominatore sono positivi.
Studio del numeratore
Inizio chiedendomi quando il numeratore è positivo:
$$ 3x^2+2x+8 > 0 $$Abbiamo ottenuto quindi una disequazione di secondo grado.
Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho
- espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$
- $\textbf{a}>0$
- delta positivo: $\Delta > 0$
- $x_1,x_2$ soluzioni dell'equazione associata con $x_2 < x_1$
Allora $ax^2+bx+c > 0$ ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$, mentre $ax^2+bx+c < 0$ ha soluzione $x_2 < x < x_1$. A parole, se voglio l'espressione positiva devo prendere l'unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell'equazione associata. Se invece voglio l'espressione negativa, devo prendere l'intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.
Quindi
$$ \begin{aligned} 3x^2+2x+8 & > 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ 3x^2+2x+8 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(3)(8)}}{2(3)} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{-92}}{2} \end{aligned} $$Abbiamo quindi trovato che il delta è negativo: l'equazione associata non ha mai soluzioni, ma noi volevamo risolvere la disequazione. Cosa possiamo dire su quella?
Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho
- espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$
- $\textbf{a}>0$
- delta negativo: $\Delta < 0$
Allora $ax^2+bx+c > 0$ ha soluzione $\forall \; x \in \mathbb{R}$, mentre $ax^2+bx+c < 0$ ha soluzione $\nexists \; x \in \mathbb{R}$. A parole, se $a > 0$ e delta è negativo, l'espressione $ax^2+bx+c$ è sempre positiva: quindi la disuguaglianza con il maggiore è sempre verificata mentre non lo è mai quella con il minore.
Nel nostro caso $a = 3$ e vogliamo $3x^2+2x+8 > 0$: la disuguaglianza quindi è sempre verificata (soluzione: $\forall \; x \in \mathbb{R}$). Ciò significa quindi che il nostro numeratore è sempre positivo.
Studio del denominatore
Mi chiedo ora quando il denominatore è positivo:
$$ \begin{aligned} x^2-x+3 & > 0 \end{aligned} $$Andando a studiare l'equazione associata (che avevamo fatto prima per determinare le C.E.), anche qui troviamo un delta negativo: $a = 1$ e vogliamo $x^2-x+3 > 0$, disequazione sempre verificata con lo stesso ragionamento fatto per il numeratore. Abbiamo quindi trovato che anche il denominatore è sempre positivo.
Studio della frazione
Ora che abbiamo studiato numeratore e denominatore, possiamo mettere tutto insieme e studiare il segno della frazione. Andiamo a costruire il "castello dei segni":
Inerisco in ogni riga i risultati ottenuti in precedenza: metto una $+$ negli intervalli dove il numeratore è positivo e una $-$ nel resto. Stessa cosa per il denominatore: in generale, con i pallini vuoti indico il fatto che gli estremi sono esclusi. Nell'ultima riga, quella chiamata Frazione, si moltiplicano fra loro i segni delle due righe precedenti; è inoltre in questa riga che leggo il risultato finale.
Dal momento che sia numeratore che denominatore sono sempre positivi, avrò un segno $+$ su tutta la riga del numeratore e su tutta la riga del denominatore.
Il mio obiettivo era quello di scoprire quando la frazione è negativa: la soluzione sarà quindi data da tutti gli intervalli in cui ho un segno $-$ nella riga Frazione: nel nostro caso non abbiamo segni $-$ nella riga frazione, quindi possiamo concludere che la frazione non è mai negativa. La disequazione quindi non ha soluzione
$$ \nexists \; x \in \mathbb{R} $$In generale, l'ultimo step consisterebbe nel confrontare la soluzione trovata con le C.E., che però in questo caso non abbiamo.