Esercizio 1 - difficoltà: 1

Data l'ellisse di equazione $x^2+4y^2 = 16$, trova la lunghezza della corda individuata sulla retta di equazione $x-2y+4=0$.

Soluzione:

Come prima cosa riscriviamo l'equazione dell'ellisse dividendo tutto per 16:

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

Giusto per farci un'idea, facciamo un disegno: non è richiesto dall'esercizio, ma visualizzare fa sempre bene.

Ricordiamo l'equazione generale dell'ellisse:

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Per disegnarla mi servono soltanto $a$ e $b$. Nel nostro caso, $a = \sqrt{16} = 4$ e $b = \sqrt{4} = 2$.

Per disegnare invece la retta, basta che trovo due suoi punti: con $x=0$ ottengo $0-2y+4=0 \rightarrow y = 2$ quindi il punto $(0;2)$, mentre con $x=2$ ottengo $2-2y+4=0 \rightarrow y = 3$ quindi il punto $(2;3)$.

Per trovare la lunghezza della corda individuata sulla retta, dobbiamo trovare i punti di intersezione fra la retta e l'ellisse e poi calcolare la distanza fra questi punti. Facendo il grafico i punti di intersezione sono chiari, ma andiamo a calcolarli come ci richiede l'esercizio.

Dobbiamo mettere a sistema l'ellisse con la retta:

$$ \begin{cases} x^2+4y^2 = 16 \\ y = \frac{x+4}{2} \end{cases} $$

Sostituisco $y$ nell'equazione dell'ellisse e ottengo

$$ x^2 + 4 \left(\frac{x+4}{2}\right)^2 = 16 $$

Svolgo i conti:

$$ \begin{aligned} x^2+4 \cdot \frac{(x+4)^2}{4} &= 16 \\ x^2 + x^2+16+8x &= 16 \\ 2x^2 + 8x +16 - 16 &= 0 \\ 2x(x+4) &= 0 \\ \frac{2x(x+4)}{2} &= \frac{0}{2} \\ x(x+4) &= 0 \end{aligned} $$

Quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto (un prodotto è zero se e solo se uno dei due termini è zero), ho che le soluzioni sono

$$ x = 0 \qquad \vee \qquad x+4=0 \rightarrow x = -4 $$

Con $x=0$ ottengo $y = \frac{0+4}{2} = 2$, ossia il punto $(0;2)$ che chiamo A.

Con $x=-4$ ottengo $y = \frac{-4+4}{2} = 0$, ossia il punto $(-4;0)$ che chiamo B.

Devo ora calcolare la distanza fra questi due punti. Ricordo che la distanza fra due punti $A(x_A;y_A)$ e $B(x_B;y_B)$ è calcolata come

$$ d = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} $$

Nel nostro caso,

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(-4-0)^2+(0-2)^2} \\ &= \sqrt{16+4} \\ &= \sqrt{20} \\ &= \sqrt{4\cdot 5} \\ &= \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} \\ &= 2\sqrt{5} \end{aligned} $$