Esercizio 1 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione differenziale

$$x^3y^{'}-2x-1 = 0$$

Soluzione:

Come prima cosa isoliamo la derivata di $y$:

$$ x^3y^{'}-2x-1 = 0 \\ x^3y^{'} = 2x+1 \\ y^{'} = \frac{2x+1}{x^3} \\ y^{'} = \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3} \\ y^{'} = \underbrace{\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}_{\text{funzione che dipende solo da x}} $$

Siamo quindi di fronte a un'equazione differenziale del tipo

$$y^{'} = f(x)$$

dove, nel nostro caso, $f(x) = \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}$.

Per risolverla basta integrare destra e sinistra rispetto a $\mathbf{x}$, ossia fare l'integrale in $dx$:

$$ y^{'} = \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3} \\ \int y^{'} dx = \int \left(\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)dx \\ y = \int \frac{2}{x^2}dx + \int \frac{1}{x^3}dx \\ = 2 \int x^{-2} dx + \int x^{-3}dx \\ = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^{-2}}{-2} +c \\ = -2x^{-1} -\frac{1}{2}x^{-2} +c \\ = -\frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}+c $$

Le soluzioni sono quindi tutte le funzioni del tipo

$$y = -\frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}+c$$

Nota sul perchè prendo l'integrale in $x$:

Sappiamo che scrivere $y$ o scrivere $f(x)$ è lo stesso: modi diversi per scrivere la stessa identica cosa. Quindi, quando considero la derivata, che posso indicare con $'$ oppure $D$ oppure $\frac{d}{dx}$, scrivere $y^{'}$ equivale a scrivere $f^{'}(x)$. Siccome l'obiettivo del problema è trovare $y$, ossia $f(x)$, nel momento in cui ho un'equazione del tipo

$$y^{'} = \text{funzione di x}$$

ossia

$$f^{'}(x) = \text{funzione di x}$$

a sinistra dell'uguale ottengo $f(x)$ solo se considero l'integrale rispetto a $x$. In quel caso infatti, per il termine a sinistra dell'uguale ho

$$\int y^{'} dx = \int f^{'}(x) dx = f(x) = y$$

proprio per definizione di integrale. Se prendessi l'integrale rispetto a $y$ otterei

$$ \int \underbrace{f^{'}(x)}_{\text{non dipende da y}} dy = f^{'}(x) \int 1 \cdot dy = f^{'}(x) y $$

Dato che $f^{'}(x)$ non dipende da $y$ ($f^{'}(x)$ è una funzione di $x$, non di $y$) è come se fosse una costante che posso portare fuori dall'integrale. In questo caso non ottengo neanche lontanamente quello che mi interessa, ossia $f(x)$.

Nota: volendo essere rigorosi al 100%, poichè ogni integrale che risolvo è indefinito, avrei

$$ y^{'} = \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3} \\ \int y^{'} dx = \int \left(\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)dx \\ y +c_1 = \int \frac{2}{x^2}dx + \int \frac{1}{x^3}dx \\ y +c_1 = 2 \int x^{-2} dx + \int x^{-3}dx \\ y +c_1 = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} +c_2 + \frac{x^{-2}}{-2} +c_3 \\ y +c_1 = -2x^{-1} -\frac{1}{2}x^{-2} +c_2+c_3 \\ y +c_1 = -\frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}+c_2+c_3 \\ y = -\frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2}+\underbrace{c_2+c_3-c_1}_{= c} $$

Poichè la somma (e sottrazione) di costanti è una costante, scrivo sempre solo una cosante $c$ quando risolvo l'integrale a destra dell'uguaglianza.