Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{x+1}{x^3-5x^2+4x} +\frac{2}{x} = \frac{2}{x-1}$$
Soluzione:
L'equazione è fratta perchè compare l'incognita $x$ in almeno un denominatore. Rcicordiamo gli step per risolverla:
- scomporre tutti i denominatori;
- porre le condizioni di esistenza (C.E.);
- trovare un unico denominatore comune e sommare le frazioni;
- "togliere" il denominatore comune;
- risolvere l'equazione (non più fratta);
- controllare le C.E. e scegliere le soluzioni.
Procediamo per step e scomponiamo tutti i denominatori.
$x$ e $x-1$ sono già scomposti.
$$ x^3-5x^2+4x = x \cdot (x^2-5x+4) \\ = x \cdot (x-1)(x-4) $$
dove per scomporre $x^2-5x+4$ ho cercato due numeri la cui somma sia $-5$ e il prodotto $+4$, ossia i numeri $-1$ e $-4$ (vedi l'argomento Scomposizioni per approfondire).
$$\frac{x+1}{x(x-1)(x-4)} +\frac{2}{x} = \frac{2}{x-1}$$
Poniamo ora le C.E.: prendo ogni singolo fattore (senza ripetizioni) di tutti i denominatori e lo pongo diverso da zero.
$$ C.E. \; \begin{cases} x \neq 0 \\ x-1 \neq 0 \\ x-4 \neq 0 \end{cases} $$
che diventa
$$ C.E. \; \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq 4 \end{cases} $$
Che significato hanno le C.E.? Ci dicono per quali valori l'equazione esiste, ossia ha senso. Nel nostro caso, se $x$ fosse uguale a $0$, o $1$, o $4$, l'equazione di partenza proprio non esisterebbe. Perchè? Perchè almeno un denominatore sarebbe uguale a $0$...e si può dividere per $0$? No. Quindi le frazioni (divisioni) esistono solo se i denominatori sono tutti diversi da zero.
Procediamo con il denominatore comune: lo trovo prendendo tutti i fattori, comuni e non comuni, di grado maggiore.
Esempi:
$$ \text{Fattori:} \; x, x-1, x^2+1 \\ \text{Denominatore comune:} \; x(x-1)(x^2+1) \\ \\ \text{Fattori:} \; x, x-1, (x-1)^2 \\ \text{Denominatore comune:} \; x(x-1)^2 \\ \\ \text{Fattori:} \; x-1, x+1, (x-1)^2, x^2+2 \\ \text{Denominatore comune:} \; (x+1)(x-1)^2(x^2+2) $$
Nel nostro caso il denominatore comune è $x(x-1)(x+4)$. Sommo insieme tutte le frazioni. Attenzione: vale la somma "classica" fra frazioni. Una volta che ho il denominatore comune, per trovare cosa scrivere a numeratore devo fare (denominatore comune $:$ denominatore) $\cdot$ numeratore.
$$ \frac{(x+1)+(x-1)(x-4) \cdot (2)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{(x)(x-4) \cdot (2)}{x(x-1)(x-4)} \\ \downarrow \\ \text{moltiplico dx e sx per il denominatore } D \\ \cancel{D} \cdot \frac{(x+1)+(x-1)(x-4) \cdot (2)}{\cancel{x(x-1)(x-4)}} = \frac{(x)(x-4) \cdot (2)}{\cancel{x(x-1)(x-4)}} \cdot \cancel{D} \\ (x+1) +(x-1)(x-4)(2) = x(x-4)(2) $$
A questo punto l'equazione non è più fratta: si procede con i classici metodi.
$$ (x+1) +(x-1)(x-4)(2) = x(x-4)(2) \\ x+1+(x^2-4x-x+4)(2) = (x^2-4x)(2) \\ x+1+(2x^2-8x-2x+8) = 2x^2-8x \\ x+1+\cancel{2x^2}-\cancel{8x}-2x+8 = \cancel{2x^2}-\cancel{8x} \\ x+1-2x+8 = 0 \rightarrow \text{eq. di primo grado} \\ x-2x = -1-8 \\ -x = -9 \\ (-1) \cdot (-x) = (-9) \cdot (-1) \\ x = 9 $$
Ultimo step importantissimo: controllare se le soluzioni trovate sono compatibili con le C.E. e quindi accettabili.
$x=9$ è accettabile? Sì perchè le C.E. mi dicevano $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq 4$, quindi $x = 9$ va bene ed è la mia soluzione finale.