Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione irrazionale

$$\sqrt{x^2+6x+3}-x = 2$$

Soluzione:

Come prima cosa isoliamo la radice a sinistra dell'uguaglianza e portiamo a destra tutto il resto, ricordandoci di cambiare segno quando spostiamo gli elementi da una parte all'altra dell'uguale.

$$ \sqrt{x^2+6x+3}-x = 2 \\ \sqrt{x^2+6x+3} = 2+x $$

Dato che l'indice della radice è pari, l'equazione è equivalente al sistema

$$ \begin{cases} 2+x \geq 0 \\ x^2+6x+3 = (2+x)^2 \end{cases} $$

Sostanzialmente dobbiamo porre il termine destro dell'uguaglianza (o l'argomento della radice) maggiore di zero e poi possiamo elevare tutto al quadrato, mettendo le due condizioni a sistema.

La prima disuguaglianza diventa

$$ 2+x \geq 0 \\ x \geq -2 $$

La seconda equazione diventa

$$ x^2+6x+3 = (2+x)^2 \\ x^2+6x+3 = (2)^2+2(2)(x)+(x)^2 \\ x^2+6x+3 = 4+4x+x^2 \\ \cancel{x^2}+6x+3 = 4+4x+\cancel{x^2} \\ 6x-4x = -3+4 \\ 2x = +1 \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} = \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{2} $$

dove nel secondo passaggio ho utilizzato la formula di sviluppo di binomio $(A+B)^2 = A^2 +2AB+ B^2$.

Il sistema diventa quindi

$$ \begin{cases} x \geq -2 \\ x = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Poichè abbiamo un sistema, dobbiamo scegliere le soluzioni comuni a tutte le equazioni, se ci sono. In questo caso l'unica soluzione presente in tutti e due i casi è

$$x=\frac{1}{2}$$

che è quindi soluzione finale dell'equazione iniziale.

Alternativa: la soluzione che abbiamo trovato "cade" dentro l'intervallo trovato? Se sì, è soluzione finale. Se no, l'equazione è impossibile.