Esercizio 2 - difficoltà: 1
Stabilisci per quali valori di $k$ la parabola di equazione $y = (k-1)x^2-(3k-2)x+k$:
- ha la concavità rivolta verso l'alto;
- ha asse coincidente con l'asse $y$;
- passa per l'origine.
Soluzione:
Ricordiamo che, data la parabola $ y=a x^{2}+b x+c$, essa ha concavità verso l'alto se $a>0$, ha asse coincidente con l'asse $y$ se $-\frac{b}{2a}=0$ e passa per l'origine se $c=0$.
Nel nostro caso
\begin{align*} a & =k-1 \\ b & = -(3k-2) \\ c & = k \end{align*}
Quindi la parabola ha concavità rivolta verso l'alto se
\[ k-1>0 \quad \text{ossia} \quad \kappa>1 \]
Ha asse coincidente con l'asse $y$ se
\begin{align*} -\frac{-(3k-2)}{2(k-1)} & =0 \\ \frac{3k-2}{2(k-1)}& =0 \\ 3k-2& =0 \\ 3k & =2 \\ k & =\frac{2}{3} \end{align*}
Passa per l'origine se
\[ k=0 \]