Esercizio 1 - difficoltà: 1

Calcola il valore della seguente espressione applicando, dove possibile, le proprietà delle potenze

$$[(3^2-2^4:2^2)^2\cdot 5^{10}]:(5^5)^2-(5\cdot 2)^4:[(10^5\cdot 10^4):10^5]-10\cdot11^0$$

Soluzione:

Ricordiamo l'ordine con cui vanno svolti i conti nelle espressioni. Prima si svolgono le operazioni dentro le parentesi tonde, poi quadrate, poi graffe. All'interno di una parentesi valgono le priorità delle operazioni: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, poi somme e sottrazioni.

Attenzione: se le potenze sono coinvolte in moltiplicazioni o divisioni, valgono le proprietà delle potenze.

\begin{align*} A^n \cdot A^m & = A^{n+m} \\ A^n : A^m & = A^{n-m} \\ (A^n)^m & = A^{n \cdot m} \end{align*}

\begin{align*} &[(3^2 - \underbrace{2^4 : 2^2}_{\text{proprietà potenze}})^2 \cdot 5^{10}] : \underbrace{(5^5)^2}_{\text{proprietà potenze}} - (5 \cdot 2)^4 : [(\underbrace{10^5 \cdot 10^4}_{\text{proprietà potenze}}) : 10^5] - 10 \cdot 11^0 \\ &= [(3^2 - 2^2)^2 \cdot 5^{10}] : (5^{10}) - (10)^4 : [\underbrace{(10^9) : 10^5}_{\text{proprietà potenze}}] - 10 \cdot 11^0 \\ &= [(9-4)^2 \cdot 5^{10}] : (5^{10}) - (10)^4 : [(10)^4] - 10 \cdot 11^0 \\ &= [\underbrace{(5)^2 \cdot 5^{10}}_{\text{proprietà potenze}}] : (5^{10}) - \underbrace{(10)^4 : (10)^4}_{\text{proprietà potenze}} - 10 \cdot 11^0 \\ &= \underbrace{(5)^{12} : (5^{10})}_{\text{proprietà delle potenze}} - (10)^0 - 10 \cdot 11^0 \\ &= (5)^2 - 1 - 10 \cdot 1 \\ &= 25 - 1 - 10 \\ &= 14 \end{align*}

dove negli ultimi passaggi abbiamo utilizzato la regola che qualsiasi numero, diverso da zero, elevato alla zero fa sempre uno ($n^0 = 1$ per ogni $n \neq 0$).

Attenzione: $(5^2) = (5)^2$.