Esercizio 2 - difficoltà: 1

Calcola il valore della seguente espressione

$$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\left[\left(1+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{5}{12}-\frac{1}{3}\right)^2\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10}$$

Soluzione:

Ricordiamo l'ordine con cui vanno svolti i conti nelle espressioni. Prima si svolgono le operazioni dentro le parentesi tonde, poi quadrate, poi graffe. All'interno di una parentesi valgono le priorità delle operazioni: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, poi somme e sottrazioni.

\begin{align*} & \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\left[\left(1+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{5}{12}-\frac{1}{3}\right)^2\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \left(\frac{5+3}{15}\right):\left[\left(\frac{12+9-4}{12}\right)^2-\left(\frac{5-4}{12}\right)^2\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \left(\frac{8}{15}\right):\left[\left(\frac{17}{12}\right)^2-\left(\frac{1}{12}\right)^2\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ \end{align*}

A questo punto attenzione a non fare il classico errore:

$$\left(\frac{17}{12}\right)^2-\left(\frac{1}{12}\right)^2 = \left(\frac{7}{12} - \frac{1}{12}\right)^2 \qquad \text{SBAGLIATO!}$$

perchè non rispetta l'ordine delle operazioni (e non c'è nessuna proprietà delle potenze che dice cosa fare della sottrazione fra potenze). Si prosegue con l'ordine giusto delle operazioni: prima le potenze, e poi la sottrazione.

\begin{align*} & = \left(\frac{8}{15}\right):\left[\left(\frac{17}{12}\right)^2-\left(\frac{1}{12}\right)^2\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \left(\frac{8}{15}\right):\left[\frac{289}{144}-\frac{1}{144}\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \left(\frac{8}{15}\right):\left[\frac{289-1}{144}\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \left(\frac{8}{15}\right):\left[\frac{288}{144}\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \left(\frac{\cancel{8}^1}{\cancel{15}_{5}}\right) \cdot \left[\frac{\cancel{144}^{48}}{\cancel{288}_{36}}\right]-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \frac{\cancel{48}^{4}}{5 \cdot \cancel{36}_3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{10} \\ & = \frac{4}{15}-\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\\ & = \frac{8-5-3}{30} = \frac{0}{30} = 0 \end{align*}

dove ricordo che $0$ diviso per qualsiasi numero fa sempre $0$ (tranne $0:0$ che non si può fare).