Esercizio 1 - difficoltà: 1

Semplifica la seguente espressione

$$ (2+\sqrt{2})^2(3-\sqrt{2})-\sqrt{32}-\sqrt{8} $$

Soluzione:

Come prima cosa verifico che tutti i radicali coinvolti siano semplificati: $\sqrt{32}$ e $\sqrt{8}$ non lo sono. Per semplificarli devo scomporli:

\begin{align*} 8 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & = 2^3 \\ \sqrt{8} & = \sqrt{2^3} \\ & = \sqrt{2^2 \cdot 2} \\ & = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} \\ & = 2 \cdot \sqrt{2} \\ & = 2\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} 32 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & = 2^5 \\ \sqrt{32} & = \sqrt{2^5} \\ & = \sqrt{2^2\cdot 2^2 \cdot 2} \\ & = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \\ & = 4 \cdot \sqrt{2} \\ & = 4\sqrt{2} \end{align*}

Ritorno all'espressione

\begin{align*} & (2+\sqrt{2})^2(3-\sqrt{2})-\sqrt{32}-\sqrt{8} \\ & = (2+\sqrt{2})^2(3-\sqrt{2})-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \end{align*}

Ricordo l'ordine delle operazioni: prima le potenze (attenzione ai prodotti notevoli!), poi le moltiplicazioni e poi le divisioni.

\begin{align*} & \underbrace{(2+\sqrt{2})^2}_{\text{quadr.binomio}}(3-\sqrt{2})-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ & = ((2)^2+2(2)(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2)(3-\sqrt{2})-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ & = (4+4\sqrt{2}+2)(3-\sqrt{2})-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ & = (6+4\sqrt{2})(3-\sqrt{2})-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ & = 6\cdot 3 -6 \cdot \sqrt{2}+4\sqrt{2} \cdot 3 -4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ & = 18-6\sqrt{2}+12\sqrt{2}-8-4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ & = 18-\underline{6\sqrt{2}}+\underline{12\sqrt{2}}-8-\underline{4\sqrt{2}}-\underline{2\sqrt{2}} \\ & = 10 +(-6+12-4-2)\sqrt{2} \\ & = 10 + (0)\sqrt{2} \\ & = 10 \end{align*}