Esercizio 2 – Studio di funzione

Esercizio 2 - difficoltà: 1

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione

$$y = \frac{6x-3}{x^2}$$

Soluzione:

Come prima cosa ricordo a grandi linee gli step necessari per studiare una funzione

trovare le condizioni di esistenza (C.E.)
vedere se la funzione è simmetrica
stabilire il segno della funzione, ossia guardare quando la funzione è maggiore o uguale a zero
limiti agli estremi e nei punti di discontinuità (se ci sono)
studio della derivata prima per trovare massimi e minimi
studio della derivata seconda per trovare punti di flesso

Il primo consiglio che darei è quello di disegnare SUBITO ogni cosa che trovo in ogni step, così non si perdono dati per strada.

STEP 1

Avendo una frazione dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero. Nel nostro caso

$$ \begin{align*} \text{C.E.: }\; x^2 & \neq 0 \\ & \downarrow \\ \text{C.E.: } \; x & \neq 0 \end{align*} $$

Qui non riesco a tratteggiare l'asse $y$ (ossia $x=0$), ma usando carta e penna lo farei.

STEP 2

Vedere se la funzione è simmetrica significa vedere se è pari o dispari. Ricordiamo che una funzione $f$ è pari se

$$f(-x) = f(x)$$

mentre è dispari se

$$f(-x) = -f(x)$$

Andiamo quindi a calcolare nel nostro caso $f(-x)$:

$$ \begin{align*} f(-x) & = \frac{6(-x)-3}{(-x)^2} \\ & = \frac{-6x-3}{x^2} \\ f(-x) & \neq \begin{cases} f(x) = \frac{6x-3}{x^2} \\ -f(x) = -\frac{6x-3}{x^2} = \frac{-6x+3}{x^2} \end{cases} \end{align*} $$

La funzione quindi non è nè pari nè dispari.

STEP 3

Andiamo ora a vedere quando $y = f(x) = \frac{6x-3}{x^2} \geq 0$.

Avendo l'incognita a denominatore è una disequazione fratta: ricordo che si risolve con lo studio dei segni (siamo già nella forma base, ossia $\text{frazione} \gtreqless 0$).

Numeratore:

$$ \begin{align*} 6x-3 & \geq 0 \\ 6x & \geq 3 \\ \frac{6x}{6} & \geq \frac{3}{6} \\ x & \geq \frac{1}{2} \end{align*} $$

Denominatore: $x^2 > 0$. Ricordo che un quadrato è sempre positivo ($\geq 0$). Non avendo l'uguale a zero, basta escludere i casi in cui $x =0$. Quindi la soluzione di $x^2 > 0$ è $x \neq 0$ ($\rightarrow$ tutte le altre $x$ vanno bene perchè elevate al quadrato danno sempre un numero positivo).

Quindi la funzione è positiva in

$$x \geq \frac{1}{2}$$

Riportiamo queste informazioni sul grafico. Indico con il grigio le zone in cui la funzione "non c'è"; i pallini rossi sull'asse delle $x$ indicano le intersezioni (i punti in cui la funzione è zero), ossia i punti $x = \frac{1}{2}$ nel nostro caso.

STEP 4

Andiamo a vedere i limiti agli estremi del nostro dominio.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{6x-3}{x^2} = "\frac{+\infty}{+\infty}"$$

Per risolvere la forma indeterminata basta semplicemente raccogliere il termine di grado maggiore, ossia $x$.

$$ \begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{6x-3}{x^2} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x \cdot \left(6 - \frac{3}{x}\right)}{x^2} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{6 - \frac{3}{x}}{x} \\ & = \frac{6}{+\infty} \\ & = 0 \end{align*} $$

Abbiamo quindi ottenuto che la funzione ha un asintoto orizzontale ($y = 0$) per $x \rightarrow +\infty$.

Facciamo anche il limite a $-\infty$.

$$ \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{6x-3}{x^2} & = "\frac{-\infty}{+\infty}" \\ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{6x-3}{x^2} & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x \cdot \left(6 - \frac{3}{x}\right)}{x^2} \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{6 - \frac{3}{x}}{x} \\ & = \frac{6}{-\infty} \\ & = 0 \end{align*} $$

Anche per $x \rightarrow -\infty$ abbiamo un asintoto orizzontale $y =0$.

Visto che nel dominio è escluso lo zero (vedi C.E. fatte in precedenza), anche nell'intorno di $x=0$ dobbiamo vedere cosa succede.

$$ \begin{align*} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{6x-3}{x^2} & = \frac{6 \cdot 0^{+}-3}{(0^{+})^2} \\ & = \frac{-3}{0^{+}} \\ & = -\infty \\ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{6x-3}{x^2} & = \frac{6 \cdot 0^{-}-3}{(0^{-})^2} \\ & = \frac{-3}{0^{+}} \\ & = -\infty \end{align*} $$

Quindi $x=0$ è un asintoto verticale.

Riportiamo sul grafico quello che abbiamo trovato. Disegno in rosso la funzione.

STEP 5

Calcoliamo la derivata prima: indico con $D$ o $'$ il simbolo di derivata.

$$ \begin{align*} y^{'} & = D\left(\frac{6x-3}{x^2}\right) \\ & = \frac{D(6x-3) \cdot (x^2) - (6x-3)\cdot D(x^2)}{(x^2)^2} \\ & = \frac{6 \cdot x^2 -(6x-3) \cdot 2x}{x^4} \\ & = \frac{6x^2-(12x^2-6x)}{x^4} \\ & = \frac{6x^2-12x^2+6x}{x^4} \\ & = \frac{-6x^2+6x}{x^4} \end{align*} $$

Devo ora studiare il segno della derivata prima, ossia quando $y^{'} \geq 0$. Nel nostro caso

$$\frac{-6x^2+6x}{x^4} \geq 0$$

Anche questa è una disequazione fratta, come quella vista al punto $2$.

Numeratore:

$$ \begin{align*} -6x^2+6x & \geq 0 \\ 6x^2-6x & \leq 0 \\ 6x(x-1) & \leq 0 \\ \frac{6x(x-1)}{6} & \leq \frac{0}{6} \\ x(x-1) & \leq 0 \\ & \downarrow \\ \text{eq. } & \text{ associata}; \\ x(x-1) & = 0 \\ x = 0 \; & \vee \; x = 1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo } \leq & \rightarrow \text{ intervalli interni} \\ 0 \leq x & \leq 1 \end{align*} $$

Denominatore: $x^4 > 0$. Ricordo che un numero elevato a un esponente pari è sempre positivo ($\geq 0$). Non avendo l'uguale a zero, basta escludere i casi in cui $x = 0$. Quindi la soluzione di $x^4 > 0$ è $x \neq 0$ ($\rightarrow$ tutte le altre $x$ vanno bene perchè elevate alla quarta danno sempre un numero positivo).

La funzione è quindi decrescente negli intervalli $\left(-\infty,0 \right)$ e $\left(1, +\infty\right)$ mentre è crescente in $\left(0,1 \right)$. Abbiamo quindi che zero sarebbe un minimo relativo della funzione, ma essendo $x = 0$ escluso dal dominio la funzione non ha punti di minimo. Invece $x=1$ è un punto di massimo (assoluto perchè agli estremi la funzione tende a zero).

STEP 6

Calcoliamo la derivata seconda.

$$ \begin{align*} y^{''} & = D\left(\frac{-6x^2+6x}{x^4}\right) \\ & = \frac{D(-6x^2+6x) \cdot x^4 - (-6x^2+6x) \cdot D(x^4)}{(x^4)^2} \\ & = \frac{(-12x+6)\cdot x^4 - (-6x^2+6x) \cdot 4x^3}{x^8} \\ & = \frac{-12x^5+6x^4-(-24x^5+24x^4)}{x^8} \\ & = \frac{-12x^5+6x^4+24x^5-24x^4}{x^8} \\ & = \frac{12x^5-18x^4}{x^8} \\ & = \frac{6x^4 \cdot (2x-3)}{x^8} \\ & = \frac{6 \cdot (2x-3)}{x^4} \end{align*} $$

Devo ora studiare il segno della derivata seconda, ossia quando $y^{''} \geq 0$. Nel nostro caso

$$\frac{6 \cdot (2x-3)}{x^4}$$

Anche questa è una disequazione fratta: noto già che il denominatore è $x^4$, che è sempre positivo. Quindi il segno di tutta la frazione è determinato solo dal segno del numeratore.

$$ \begin{align*} 6 \cdot (2x-3) & \geq 0 \\ \frac{6 \cdot (2x-3)}{6} & \geq \frac{0}{6} \\ 2x-3 & \geq 0 \\ 2x & \geq 3 \\ x & \geq \frac{3}{2} \end{align*} $$

La funzione è quindi convessa $(y^{''} > 0)$ in $\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ mentre è concava $(y^{''} < 0)$ in $\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)$. La funzione ha un punto di flesso in $x = \frac{3}{2}$.

Il grafico finale della funzione è quindi