Esercizio 2 - difficoltà: 1

Determina la lunghezza della corda che la circonferenza di equazione $x^2+y^2-12x+2y-37 = 0$ stacca sulla retta di equazione $y = 2x+4$.

Soluzione:

Dal testo possiamo già intuire che la circonferenza e la retta sono secanti e si intersecano in due punti che saranno gli estremi della corda di cui dobbiamo calcolare la lunghezza. Partiamo quindi calcolando le coordinate dei due punti di intersezione mettendo a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta:

$$ \begin{cases} x^2+y^2-12x+2y-37 = 0 \\ y = 2x+4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+(2x+4)^2-12x+2(2x+4)-37 = 0 \\ y = 2x+4 \end{cases} $$

dove nel secondo sistema ho sostituito la $y$ nella prima equazione. Lavoro quindi solo con la prima equazione in $x$:

$$ \begin{aligned} x^2+(2x+4)^2-12x+2(2x+4)-37 & = 0 \\ x^2+4x^2+16x+16-12x+4x+8-37 & = 0 \\ 5x^2 +8x -13 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-8\pm \sqrt{64+260}}{10} \\ & = \frac{-8\pm 18}{10} \end{aligned} $$

Abbiamo quindi $x_1 = 1$ e $x_2 = -\frac{13}{5}$. Per trovare le corrispettive $y$ uso la seconda equazione $y = 2x+4$:

$$ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2x+4 = 2(1)+4 = 6 \end{cases} \qquad \begin{cases} x = -\frac{13}{5} \\ y = 2x+4 = 2\left(-\frac{13}{5}\right)+4 = \frac{-26+20}{5} = -\frac{6}{5} \end{cases} $$

I due punti di intersezione sono quindi $A(1;6)$ e $B\left(-\frac{13}{5};-\frac{6}{5}\right)$. Per calcolare quanto è lunga la corda, basta quindi calcolare la distanza fra questi due punti:

$$ \begin{aligned} AB & = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\ & = \sqrt{\left(-\frac{13}{5}-1\right)^2+\left(-\frac{6}{5}-6\right)^2} \\ & = \sqrt{\left(\frac{-13-5}{5}\right)^2+ \left(\frac{-6-30}{5}\right)^2} \\ & = \sqrt{\frac{324}{25} + \frac{1296}{25}} \\ & = \sqrt{\frac{1620}{25}} \\ & = \frac{\sqrt{18^2 \cdot 5}}{\sqrt{5^2}} \\ & = \frac{18\sqrt{5}}{5} \end{aligned} $$