Esercizio 1 - difficoltà: 1

Determina in quanti modi possono disporsi in fila tre gettoni rossi e quattro gialli se il primo gettone deve essere giallo.

Soluzione:

Come prima cosa ricordiamo la differenza fra disposizioni, permutazioni e combinazioni.

Le disposizioni semplici di $n$ elementi distinti di classe $k$ (con $k\leq n$) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con $k$ elementi, presi fra gli $n$, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per il loro ordine.

Le permutazioni semplici di $n$ elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli $n$ elementi che differiscono per il loro ordine.

Le combinazioni semplici di $n$ elementi distinti di classe $k$ (con $k \leq n$) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con $k$ elementi, presi fra gli $n$, e tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per almeno un elemento contenuto.

Nel nostro caso ci stanno sostanzialmente chiedendo come si possono mettere in fila 7 gettoni. Siamo quindi nel caso delle permutazioni.

Essendo però i 7 gettoni divisi in 3 rossi e 4 gialli, siamo nello specifico nel caso di permutazioni con ripetizione. La regola ci dice che le permutazioni di $n$ elementi di cui $h,k$ ripetuti sono

$$ P_n^{(h,k)} = \frac{n!}{h!\cdot k!} $$

dove con "!" indico il simbolo del fattoriale.

Poichè ci dicono che il primo gettone deve essere fissato giallo, nel nostro caso $n = 6$ (7 meno quello fissato), $h = 3$ (gettoni rossi) e $k = 3$ (gettoni gialli, 4 meno uno fissato). Quindi i gettoni possono disporsi in fila in

$$ \begin{aligned} P_6^{(3,3)} & = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \frac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2} \\ & = \frac{6\cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} \\ & = 2 \cdot 5 \cdot 2 \\ & = 20 \end{aligned} $$

modi.