Esercizio 1 - difficoltà: 1

Calcola la derivata della seguente funzione nel punto $c$ indicato a fianco, applicando la definizione di derivata

$$f(x) = \frac{x^2-1}{2-x} \qquad c = 1$$

Soluzione:

Come prima cosa ricordiamo la definizione di derivata. Data una funzione $y = f(x)$ si chiama derivata della funzione $f$ nel punto $c$ il limite, se esiste ed è finito, per $h$ che tende a zero, del rapporto incrementale relativo a $c$: si indica con $f'(c)$ e vale

$$ f'(c) = \lim_{h \rightarrow 0} \underbrace{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}_{\text{rapporto incrementale}} $$

Applicando questa definizione al nostro caso, otteniamo che la derivata di $f$ in $c=1$ è

$$ \begin{aligned} f'(1) & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \end{aligned} $$

Calcoliamo separatamente $f(1+h)$ e $f(1)$.

$$ \begin{aligned} f(1) & = \frac{(1)^2-1}{2-(1)} \\ & = \frac{1-1}{1} = 0 \\ f(1+h) & = \frac{(1+h)^2-1}{2-(1+h)} \\ & = \frac{1+h^2+2h-1}{2-1-h} \\ & = \frac{h^2+2h}{1-h} \end{aligned} $$

Quindi

$$ \begin{aligned} f'(1) & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{h^2+2h}{1-h}-0}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{h^2+2h}{1-h}}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^2+2h}{1-h} \cdot \frac{1}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^2+2h}{h(1-h)} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(h+2)}{h(1-h)} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h+2}{1-h} \\ & = 2 \end{aligned} $$