Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione che contiene valori assoluti:
$$\biggl| -3 + \frac{1}{2}x\biggl| > 2x-\frac{5}{2}$$Soluzione:
Come prima cosa ricordiamo la definione generale di valore assoluto:
$$ |\ast(x)| = \begin{cases} \ast(x) & \text{se } \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se } \ast(x) < 0 \end{cases} $$Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l'argomento è positivo, mentre è uguale a meno l'argomento, se l'argomento è negativo.
Esempi in breve:
$$ |5x+1| = \begin{cases} 5x+1 & \text{se } 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se } 5x-1 < 0 \end{cases} $$ $$ |-x^3+2x| = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se } -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se } -x^3+2x < 0 \end{cases} $$ $$ |e^x-2x^2+\sin(x)| = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se } e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se } e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} $$L'ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c'è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.
Visto che il valore assoluto è definito per casi, il caso in cui l'argomento è positivo e il caso in cui l'argomento è negativo, anche le disequazioni col valore assoluto si risolvono per casi. In particolare, nel nostro esempio il valore assoluto diventa
$$ \biggl|-3+\frac{1}{2}x\biggl| = \begin{cases} -3+\frac{1}{2}x & \text{se } -3+\frac{1}{2}x \geq 0 \\ +3-\frac{1}{2}x & \text{se } -3+\frac{1}{2}x < 0 \end{cases} $$La disequazione di partenza si divide quindi in due disequazioni, a seconda di come è definito il valore assoluto.
Caso 1: $-3+\frac{1}{2}x\geq 0$
Nell'intervallo $-3+\frac{1}{2}x\geq 0$, ossia $\frac{1}{2}x \geq 3$, ossia $x \geq 6$, il valore assoluto è uguale a $-3+\frac{1}{2}x$. La disequazione quindi diventa
$$ -3 + \frac{1}{2}x > 2x-\frac{5}{2}$$Porto a sinistra tutti i termini con la $x$ e a destra tutti i termini senza:
$$ \frac{1}{2}x -2x > -\frac{5}{2}+3$$Sommo gli elementi e ottengo
$$\frac{x-4x}{2} > \frac{-5+6}{2}$$ $$-\frac{3}{2}x > \frac{1}{2}$$Moltiplico sia a destra che a sinistra per $-\frac{2}{3}$ in modo da isolare la $x$, ricordandomi di cambiare il verso della disuguaglianza perchè sto moltiplicando per un numero negativo:
$$x < \frac{1}{2} \cdot \left(- \frac{2}{3}\right) \qquad \rightarrow \qquad x < - \frac{1}{3}$$ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell'intervallo $x \geq 6$, perchè è qui che stiamo lavorando. Devo quindi intersecare le due cose:
Le due soluzioni non si intersecano, quindi questo caso non ha soluzioni. Di solito si indica con: $S = \emptyset$, , dove $S$ sta per soluzione e $\emptyset$ è il simbolo dell'insieme vuoto.
Caso 2: $-3+\frac{1}{2}x < 0$
Nell'intervallo $-3+\frac{1}{2}x < 0$, ossia $\frac{1}{2}x < 3$, ossia $x < 6$, il valore assoluto è uguale a $+3-\frac{1}{2}x$. La disequazione quindi diventa
$$ +3 - \frac{1}{2}x > 2x-\frac{5}{2}$$Porto a sinistra tutti i termini con la $x$ e a destra tutti i termini senza:
$$ -\frac{1}{2}x -2x > -\frac{5}{2}-3$$Sommo gli elementi e ottengo
$$\frac{-x-4x}{2} > \frac{-5-6}{2}$$ $$-\frac{5}{2}x > -\frac{11}{2}$$Moltiplico sia a destra che a sinistra per $-\frac{2}{5}$ in modo da isolare la $x$, ricordandomi di cambiare il verso della disuguaglianza perchè sto moltiplicando per un numero negativo:
$$x < -\frac{11}{2} \cdot \left(- \frac{2}{5}\right) \qquad \rightarrow \qquad x < + \frac{11}{5}$$ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell'intervallo $x < 6$, perchè è qui che stiamo lavorando. Devo quindi intersecare le due cose:
