Esercizio 1 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente disequazione

$$ \log_3(x^2-2x) > 1 $$

Soluzione:

Come prima cosa devo imporre le condizioni di esistenza (C.E.): affinchè la disequazione abbia senso il logaritmo deve esistere, e ciò avviene quando il suo argomento è positivo.

$$ \begin{aligned} \text{C.E.:} & \qquad x^2-2x > 0 \end{aligned} $$

Risolviamo la disequazione:

$$ \begin{aligned} x^2-2x & > 0 \\ x(x-2) & > 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x(x-2) & = 0 \\ x = 0 \; & \vee \; x = 2 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} & >, \; \text{intervalli esterni} \\ x < 0 \; & \cup \; x > 2 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \text{C.E.:} & \qquad x < 0 \; \cup \; x > 2 \end{aligned} $$

Una volta trovate le condizioni di esistenza, posso andare a risolvere la disequazione. Poichè la base del logaritmo è un numero maggiore di $1$, nel momento in cui "tolgo il logaritmo" il verso della disuguaglianza non cambia.

$$ \begin{aligned} \log_3(x^2-2x) & > 1 \\ x^2-2x & > 3^1 \\ x^2-2x-3 & > 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x^2-2x-3 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{2\pm 4}{2}\\ x = 3 \; & \vee \; x = -1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} & >, \; \text{intervalli esterni} \\ x < -1 \; & \cup \; x > 3 \end{aligned} $$

L'ultimo step da fare è intersecare le soluzioni trovate con le C.E.:

$$ \begin{cases} x < -1 \; & \cup \; \; \; x > 3 \\ x < 0 \; & \cup \; \; \; x > 2 \end{cases} $$

La soluzione è quindi $$ x < -1 \; \cup \; x > 3 $$