Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione fratta
$$ -\frac{2}{x-3}-x < 0 $$Soluzione:
Come prima cosa, avendo delle frazioni con l'incognita a denominatore, poniamo le condizioni di esistenza (C.E.): in questo caso dobbiamo imporre che la frazione esista, quindi che il suo denominatore sia diverso da zero.
$$ \begin{aligned} \text{C.E.:} \; x-3 \neq 0 \rightarrow x \neq 3 \end{aligned} $$Per poter poi risolvere la disequazione fratta, dobbiamo arrivare ad avere una forma del tipo
$$ \frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0 $$ossia un'unica frazione a sinistra e zero a destra. Andiamo quindi a sommare i termini a sinistra
$$ \begin{aligned} -\frac{2}{x-3}-x & < 0 \\ \frac{-2-x(x-3)}{x-3} & < 0 \\ \frac{-2-x^2+3x}{x-3} & < 0 \\ \frac{-x^2+3x-2}{x-3} & < 0 \end{aligned} $$Ci stiamo quindi chiedendo quando quella frazione è negativa: per poter rispondere a questa domanda, dobbiamo andare a studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi, alla fine, moltiplicare i segni. Indipendentemente dal verso della disuguaglianza, vado quindi a vedere quando numeratore e denominatore sono positivi.
Studio del numeratore
Inizio chiedendomi quando il numeratore è positivo:
$$ -x^2+3x-2 > 0 $$Abbiamo ottenuto quindi una disequazione di secondo grado.
Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho
- espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$
- $\textbf{a}>0$
- delta positivo: $\Delta > 0$
- $x_1,x_2$ soluzioni dell'equazione associata con $x_2 < x_1$
Allora $ax^2+bx+c > 0$ ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$, mentre $ax^2+bx+c < 0$ ha soluzione $x_2 < x < x_1$. A parole, se voglio l'espressione positiva devo prendere l'unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell'equazione associata. Se invece voglio l'espressione negativa, devo prendere l'intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.
Quindi
$$ \begin{aligned} -x^2+3x-2 & > 0 \\ (-1) \cdot (-x^2+3x-2) & > 0 \cdot (-1) \\ x^2-3x+2 \; & < \; 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ x^2-3x+2 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{9-4(1)(2)}}{2(1)} \\ & = \frac{3 \pm 1}{2} \\ & = \begin{cases} 2 \\ 1 \end{cases} \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \; < & \rightarrow \text{intervallo interno:} \\ 1 < \; & \; x \; < 2 \end{aligned} $$Abbiamo quindi trovato che il numeratore è positivo quando $1 < x < 2$.
Studio del denominatore
Mi chiedo ora quando il denominatore è positivo:
$$ \begin{aligned} x-3 & > 0 \\ x & > 3 \end{aligned} $$Studio della frazione
Ora che abbiamo studiato numeratore e denominatore, possiamo mettere tutto insieme e studiare il segno della frazione. Andiamo a costruire il "castello dei segni":
Inserisco in ogni riga i risultati ottenuti in precedenza: metto una $+$ negli intervalli dove il numeratore è positivo e una $-$ nel resto. Stessa cosa per il denominatore: in generale, con i pallini vuoti indico il fatto che gli estremi sono esclusi. Nell'ultima riga, quella chiamata Frazione, si moltiplicano fra loro i segni delle due righe precedenti; è inoltre in questa riga che leggo il risultato finale.
Il mio obiettivo era quello di scoprire quando la frazione è negativa: la soluzione sarà quindi data da tutti gli intervalli in cui ho un segno $-$ nella riga Frazione:
$$ 1 < x < 2 \; \vee \; x > 3 $$L'ultimo step consiste nel confrontare la soluzione trovata con le C.E.:
$$ \begin{aligned} \begin{cases} x \neq 3 \\ 1 < x < 2 \vee x > 3 \end{cases} \end{aligned} $$La soluzione finale è quindi
$$ 1 < x < 2 \; \vee \; x > 3 $$