Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione irrazionale
$$\sqrt{x-1} > x-3$$
Soluzione:
Come prima cosa notiamo che la disequazione è già scritta "bene", nel senso che il termine con la radice è a sinistra e tutto il resto a destra della disuguaglianza. Ci basta quindi solo applicare la formula. Siamo nel caso di indice di radice pari (uguale a \(2\)) con disequazione del tipo \(\sqrt{A(x)} > B(x)\). Formula ci dice che la disuguaglianza è equivalente a risolvere
$$\begin{cases} A(x) \geq 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \vee \begin{cases} B(x) \geq 0 \\ A(x) > (B(x))^2 \end{cases}$$
dove, nel nostro caso, \(A(x) = x-1\) e \(B(x) = x-3\). I sistemi diventano quindi
$$\begin{cases} x-1 \geq 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x-1 > (x-3)^2 \end{cases}$$
Partiamo con la risoluzione del primo sistema.
$$ \begin{align*} & \begin{cases} x-1 \geq 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 1 \\ x < 3 \end{cases} \end{align*} $$
La soluzione del primo sistema è quindi
$$1 \leq x < 3$$
Passiamo a risolvere il secondo sistema.
$$ \begin{align*} & \begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x-1 > (x-3)^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ x-1 > x^2 + 9 - 6x \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ x-1 -x^2 -9 + 6x > 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ -x^2 +7x -10> 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ x^2 -7x +10 < 0 \end{cases} \end{align*} $$
Risolviamo a parte la disequazione di secondo grado. Ricordo che gli step per risolverla sono
- arrivare a una forma del tipo \(ax^2+bx+c \gtrless 0\) con \(\underline{\mathbf{a > 0}}\);
- risolvere l'equazione associata \(ax^2+bx+c = 0\) e trovare le soluzioni \(x_1,x_2\) con \(x_2 \leq x_1\);
- se avevo \(ax^2+bx+c > 0\) prendo gli intervalli esterni: \(x < x_2 \cup x > x_1\)
- se avevo \(ax^2+bx+c < 0\) prendo l'intervallo interno: \(x_2 < x < x_1\)
- Nota: le disuguaglianze nelle soluzioni sono strette o no in base a quelle di partenza.
Risolvo quindi la nostra disuguaglianza:
$$ \begin{align*} x^2-7x+10 & < 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata}\\ x^2 -7x + 10& = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm \sqrt{49-4(1)(10)}}{2} \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm \sqrt{49-40}}{2} \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm \sqrt{9}}{2} \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm 3}{2} \\ x_{1/2} & = \begin{cases} 5 \\ 2 \end{cases} \\ & \downarrow \\ \text{avevo} < & \Rightarrow \text{intervallo interno} \\ 2 < \; & x < 5 \end{align*} $$
Il secondo sistema diventa quindi
$$ \begin{align*} & \begin{cases} x \geq 3 \\ x^2 -7x +10 < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ 2 < x < 5 \end{cases} \end{align*} $$
La soluzione di questo sistema è quindi
$$3 \leq x < 5$$
Poichè la soluzione finale è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, si ha
$$1 \leq x < 3 \cup 3 \leq x < 5$$
ossia
$$1 \leq x < 5$$