Esercizio 1 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione

$$ 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-1 = 0 $$

Soluzione:

Come prima cosa devo isolare il termine con il seno; porto quindi l'uno a destra e divido tutto per due.

$$ \begin{aligned} 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-1 &= 0 \\ 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) &= 1 \\ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Sono quindi arrivata a un'equazione della forma $\sin(\alpha) = h$, dove $\alpha = x- \frac{\pi}{3}$ e $h = \frac{1}{2}$. Ricordiamo che

$$ \sin(\alpha) = h \qquad \begin{cases} \text{determinata se} & -1 \leq h \leq 1 \\ \text{impossibile se} & h < -1 \vee h > 1 \end{cases} $$

Dato che $h = \frac{1}{2}$ è compreso fra -1 e 1, l'equazione è determinata, ossia ha soluzione. Sostanzialmente ci stanno chiedendo qual è quell'angolo $\alpha$ che ha seno uguale a $\frac{1}{2}$.

Memo: Circonferenza goniometrica

L'angolo che ha seno uguale a $\frac{1}{2}$ è $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5}{6}\pi$, ossia $\sin\left( \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left( \frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2}$. Nel nostro caso quindi otteniamo

$$ \alpha = x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} $$

oppure

$$ \alpha = x - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi $$

Ricordiamo però che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche: ciò significa che ogni $360$°, ossia $2\pi$, sono di nuovo nello stesso punto della circonferenza goniometrica. Le soluzioni sono quindi

$$ \begin{aligned} x - \frac{\pi}{3} &= \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ x &= \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ &= \frac{3}{6}\pi + 2k\pi \\ &= \frac{1}{2}\pi + 2k\pi \end{aligned} $$

oppure

$$ \begin{aligned} x - \frac{\pi}{3} &= \frac{5}{6}\pi + 2k\pi \\ x &= \frac{5}{6}\pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ &= \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \end{aligned} $$