Esercizio 1 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione

$$\frac{x^2+2x}{6} +\frac{x^2}{3} = -1$$

Soluzione:

Come prima cosa portiamo tutto a destra ricordandoci di cambiare segno quando spostiamo i fattori da una parte all'altra dell'uguaglianza, e sommiamo le frazioni facendo denominatore comune.

$$ \frac{x^2+2x}{6} +\frac{x^2}{3} = -1 \\ \frac{x^2+2x}{6} +\frac{x^2}{3} +1 = 0 \\ \frac{x^2+2x+2x^2 +6}{6} = 0 \\ 6 \cdot \frac{x^2+2x+2x^2 +6}{6} = 0 \cdot 6 \\ x^2+2x+2x^2 +6 = 0 \\ 3x^2 +2x+6 = 0 $$

Ora che siamo arrivati a un'espressione del tipo $ax^2+bx+c=0$, dove, nello specifico, abbiamo $a=3,b=2,c=6$, possiamo passare a calcolare il delta $\Delta = b^2-4ac$: visto che $\mathbf{b}$ è pari, semplifichiamo i conti calcolando il $\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 -ac$.

$$\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{2}{2}\right)^2 - (3)(6) = (1)^2-18 = -17 < 0$$

Dato che abbiamo trovato il delta negativo, sappiamo che non esiste soluzione all'equazione: ciò significa che non esiste nessun numero $x$ che mi risolve $3x^2+2x+6 = 0$. La soluzione si scrive quindi in termini matematici come

$$\nexists x \in \mathbb{R}$$