Esercizio 1 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione irrazionale

$$3-4x-\sqrt{x^2-1} = 4-3x$$

Soluzione:

Come prima cosa isoliamo la radice a sinistra dell'uguaglianza e portiamo a destra tutto il resto, ricordandoci di cambiare segno quando spostiamo gli elementi da una parte all'altra dell'uguale.

$$ -\sqrt{x^2-1} = 4-3x-3+4x \\ -\sqrt{x^2-1} = x+1 $$

Moltiplico infine tutto per -1:

$$ (-1)(-\sqrt{x^2-1}) = (x+1)(-1) \\ \sqrt{x^2-1}= -x-1 $$

Dato che l'indice della radice è pari, l'equazione è equivalente al sistema

$$ \begin{cases} -x-1 \geq 0 \\ x^2-1 = (-x-1)^2 \end{cases} $$

Sostanzialmente dobbiamo porre il termine destro dell'uguaglianza (o l'argomento della radice) maggiore di zero e poi possiamo elevare tutto al quadrato, mettendo le due condizioni a sistema.

La prima disuguaglianza diventa

$$ -x-1 \geq 0 \\ -x \geq 1 \\ (-1)(-x) \leq 1(-1) \\ x \leq -1 $$

dove nel penultimo passaggio ho cambiato il verso della disuguaglianza perchè ho moltiplicato per un numero negativo.

La seconda equazione diventa

$$ x^2-1 = (-x-1)^2 \\ x^2-1 = (-x)^2+2(-x)(-1)+(-1)^2 \\ x^2-1 = +x^2+2x+1 \\ x^2-1-x^2-1-2x = 0 \\ -2x-2 = 0 \\ -2x = 2 \\ \frac{\cancel{-2}x}{\cancel{-2}} = \frac{2}{-2} \\ x = -1 $$

dove nel quarto passaggio ho utilizzato la formula di sviluppo di binomio $(A+B)^2 = A^2 +2AB+ B^2$.

Il sistema diventa quindi

$$ \begin{cases} x \leq -1 \\ x = -1 \end{cases} $$

Poichè abbiamo un sistema, dobbiamo scegliere le soluzioni comuni a tutte le equazioni, se ci sono. In questo caso l'unica soluzione presente in tutti e due i casi è

$$x=-1$$

che è quindi soluzione finale dell'equazione iniziale.

Alternativa: la soluzione che abbiamo trovato "cade" dentro l'intervallo trovato? Se sì, è soluzione finale. Se no, l'equazione è impossibile.