Esercizio 1 - difficoltà: 1

Semplifica la seguente espressione

$$\tan(\pi-\alpha)\cos(-\alpha)-\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$$

Soluzione:

Visto che nell'espressione abbiamo sia \(\tan\) che \(\cos\), usiamo la relazione \(\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\) per riscrivere la tangente.

$$ \tan(\pi-\alpha)\cos(-\alpha)-\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\pi-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)}\cos(-\alpha)-\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) $$

Dobbiamo ora applicare le relazioni fra gli angoli associati: sconsiglio di impararle tutte a memoria, perché sono veramente tante, ma piuttosto di imparare a visualizzarle sulla circonferenza unitaria. Facciamo un esempio nel nostro caso con l'angolo \(\pi-\alpha\).

Ricordando che il seno si legge sull'asse $y$ (linee verdi verticali nella figura) si vede subito che $\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)$. Allo stesso modo, ricordando che il coseno si legge sull'asse $x$ (linee azzurre nella figura) si ha che $\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Guardiamo ora l'angolo $-\alpha$.

Qui abbiamo che $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (riga azzurra in figura).

Guardiamo l'ultimo angolo $\alpha -\frac{\pi}{2}$.

Ricordando che "ruotando" di $90$ gradi, seno e coseno si invertono. Quindi $\underbrace{\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}_{\text{linea azzurra}} = \underbrace{\sin(\alpha)}_{\text{linea verde}}$.

Torno all'espressione.

$$ = \frac{\sin(\pi -\alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} \cos(-\alpha)-\cos\left(\alpha -\frac{\pi}{2}\right) \\ = \frac{\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)} \cos(\alpha) - \sin(\alpha) \\ = \frac{\sin(\alpha)}{-\cancel{\cos(\alpha)}} \cdot \cancel{ \cos(\alpha)} - \sin(\alpha) \\ = \frac{\sin(\alpha)}{-1} -\sin(\alpha) \\ = -\sin(\alpha)-\sin(\alpha) \\ = -2\sin(\alpha) $$