Esercizio 1 - difficoltà: 1

Calcola il seguente integrale

$$\int \left( \frac{2}{x^3}-x^2-\frac{1}{x}\right) dx $$

Soluzione:

Sapendo che l'integrale di una somma si può "spezzare" nella somma degli integrali, il primo passaggio da fare è

$$ \begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3}-x^2-\frac{1}{x}\right) dx & = \int \frac{2}{x^3}dx -\int x^2 dx- \int \frac{1}{x} dx \\ & = 2 \cdot \int \frac{1}{x^3}dx -\int x^2 dx- \int \frac{1}{x} dx \end{aligned} $$

dove nel secondo passaggio ho utilizzato il fatto che le costanti si possono "portare fuori" dall'integrale.

I tre integrali che abbiamo ottenuto sono immediati: ricordiamo la formula per risolverli.

Memo:

$$ \int x^{\alpha}dx = \begin{cases} \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha +1} + c & \text{se} \ \alpha \neq -1 \\ \ln(|x|) + c & \text{se} \ \alpha = -1 \end{cases} $$

Il primo integrale quindi è uguale a

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^3} dx & = \int x^{-3} dx \\ & = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + c_1 \\ & = \frac{x^{-2}}{-2} + c_1 \\ & = - \frac{x^{-2}}{2} + c_1 \\ & = - \frac{1}{2x^2} + c_1 \end{aligned} $$

Il secondo integrale è uguale a

$$ \begin{aligned} \int x^2 dx & = \frac{x^{2+1}}{2+1} + c_2 \\ & = \frac{x^{3}}{3} + c_2 \end{aligned} $$

Il terzo integrale è uguale a

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x} dx & = \int x^{-1} dx \\ & = \ln(|x|) + c_3 \end{aligned} $$

Possiamo ora mettere insieme tutti i pezzi e calcolare l'integrale iniziale

$$ \begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3}-x^2-\frac{1}{x}\right) dx & = 2 \cdot \int \frac{1}{x^3}dx -\int x^2 dx- \int \frac{1}{x} dx \\ & = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2x^2}+c_1\right) -\left(\frac{x^3}{3} + c_2 \right)- \left(\ln(|x|)+c_3\right) \\ & = -\frac{1}{x^2} +2c_1 - \frac{x^3}{3} - c_2 -\ln(|x|) -c_3 \\ & = -\frac{1}{x^2} - \frac{x^3}{3}-\ln(|x|) + c \end{aligned} $$

dove nell'ultimo passaggio ho raggruppato assieme le costanti visto che somme e differenze di costanti rimangono costanti ($c = 2c_1-c_2-c_3$).