Esercizio 1 - difficoltà: 1

Calcola il seguente limite

$$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x}{x^2-4}$$

Soluzione:

Partiamo sostituendo $x=2$ nella funzione e vediamo cosa succede:

$$ \begin{aligned} & \frac{2}{(2)^2-4} \\ & = \frac{2}{4-4} \\ & = \frac{2}{0} \end{aligned} $$

Ricordando che $\frac{\text{numero}}{0} = \pm \infty$, abbiamo quindi capito che è cruciale capire se il denominatore è $0^{+}$ oppure $0^{-}$.

Io consiglio di procedere così:

$$ \begin{aligned} 2^2 & = 4 \\ (2^{-})^2 = (1.9)^2 & = 3.6 = 4^{-} \end{aligned} $$

Esempi:

$$ \begin{aligned} 1^2 & = 1 \\ (1^{-})^2 = (0.9)^2 & = 0.8 = 1^{-} \\ (1^{+})^2 = (1.1)^2 & = 1.2 = 1^{+} \\ (-1^{-})^2 = (-1.1)^2 & = 1.2 = 1^{+} \\ (-1^{+})^2 = (-0.9)^2 & = 0.8 = 1^{-} \end{aligned} $$

Ricordo che, per esempio, il $1^{+}$ significa che mi avvicino al numero $1$ da destra, mentre il $1^{-}$ significa che mi avvicino al numero da sinistra sulla retta dei numeri.

Ora che sappiamo che $(2^{-})^2 = 4^{-}$ riprendo il limite e lo risolvo:

$$ \begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x}{x^2-4} & = \frac{2}{4^{-}-4} \\ & = \frac{2}{3.9-4} \\ & = \frac{2}{0^{-}} \\ & = -\infty \end{aligned} $$