Esercizio 1 - difficoltà: 1
Disegna la parabola con la seguente equazione
$$y = -3x^2+3$$
Soluzione:
Come prima cosa notiamo che la parabola ha asse parallelo all'asse $y$ poichè è scritta in forma
$$y = ax^2+bx+c$$
dove, nel nostro caso, $a=-3,b=0,c=+3$.
Per disegnare la parabola abbiamo bisogno di trovare il vertice e l'intersezione con gli assi cartesiani.
Per il vertice ricordiamo la formula:
$$V=\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)$$
dove $\Delta = b^2-4ac$.
\begin{align*} x_V = -\frac{b}{2a} & = -\frac{0}{2(-3)} = 0 \\ y_V = -\frac{\Delta}{4a} & = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{0^2-4(-3)(+3)}{4(-3)} = +3 \end{align*}
Modo alternativo per trovare il vertice: visto che il vertice è un punto della parabola, le sue coordinate soddisfano l'equazione della parabola. Quindi, una volta che ho trovato la $x_V$ del vertice, posso sostituire questa nell'equazione della parabola per trovare la $y_V$. Per esempio, nel nostro caso, una volta che troviamo $x_V=0$, sostituisco questo valore di $x$ nell'equazione $y = -3x^2+$ trovando
$$y_V = -3(0)^2 + 3 = +3$$
Passiamo ora all'intersezione con l'asse $x$. Quest'asse ha equazione $y = 0$, quindi, poichè intersecare significa mettere a sistema, devo risolvere
\begin{align*} \begin{cases} y = 0 \\ y = -3x^2+3 \end{cases} \rightarrow -3x^2+3 = 0 \end{align*}
Portando $x$ a sinistra e tutto il resto a destra ottengo
$$-3x^3 = -3$$
Divido destra e sinistra per $-3$ per isolare la $x$
$$x^2 = +1$$
e ottengo come soluzioni $x = \pm 1$.
Le intersezioni con l'asse $x$ sono quindi $(1;0),(-1;0)$.
Memo: Le equazioni del tipo $x^2 = K$ con $K\geq 0$, hanno direttamente soluzione
$$x = \pm \sqrt{K}$$
Se $K < 0$, l'equazione è invece impossibile ($\nexists x \in \mathbb{R}$). Infatti, un quadrato è sempre positivo (ossia a sinistra dell'uguale ho qualcosa di maggiore di zero). Mi sto quindi chiedendo quando un numero positivo ($x^2$,a sinistra dell'uguale) è uguale a un numero negativo ($K$, a destra dell'uguale), e la risposta è chiaramente mai.
Andiamo ora a vedere le intersezione con l'asse $y$. Quest'asse ha equazione $x=0$, quindi devo risolvere il sistema
\begin{align*} \begin{cases} x = 0 \\ y = -3x^2+3 \end{cases} \rightarrow y = +3 \end{align*}
L'intersezione con l'asse $y$ è quindi $(0,3)$.
Possiamo ora disegnare la parabola.
Sostianzialmente devo disegnare i punti trovati e poi collegare i punti.