Esercizio 1 - difficoltà: 1

Semplifica la seguente espressione

$$ (x^2-2x+1)(2x^2-2x-1)-(x^2+1)(x^2-2)+(-2x)(-2x^2) $$

Soluzione:

Ricordiamo l'ordine con cui vanno svolti i conti nelle espressioni. Prima si svolgono le operazioni dentro le parentesi tonde, poi quadrate, poi graffe. All'interno di una parentesi valgono le priorità delle operazioni: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, poi somme e sottrazioni.

Nel nostro caso dentro le parentesi tonde non ci sono termini simili da sommare, e non ci sono potenze. Procediamo quindi con le moltiplicazioni.

Memo:

$$ ({\color{red}{A}} + {\color{green}{B}})({\color{teal}{C}} + {\color{magenta}{D}}) = {\color{red}{A}}{\color{teal}{C}} + {\color{red}{A}}{\color{magenta}{D}} + {\color{green}{B}}{\color{teal}{C}} + {\color{green}{B}}{\color{magenta}{D}} $$

$$ (x^2-2x+1)(2x^2-2x-1)-\underbrace{(x^2+1)(x^2-2)}_{\star}+\underbrace{(-2x)(-2x^2)}_{\star} $$

$$ = x^2 \cdot (2x^2-2x-1)-2x \cdot (2x^2-2x-1)+1 \cdot (2x^2-2x-1)-(x^4-2x^2+x^2-2)+(+4x^3) $$

$$ = 2x^4-2x^3-x^2-4x^3+4x^2+2x+2x^2-2x-1-(x^4-x^2-2)+4x^3 $$

$$ = 2x^4-2x^3-x^2-4x^3+4x^2+2x+2x^2-2x-1-x^4+x^2+2+4x^3 $$

$$ = {\color{orange}{2x^4}}{\color{green}{-2x^3}}{\color{blue}{-x^2}}{\color{green}{-4x^3}}{\color{blue}{+4x^2}}{\color{magenta}{+2x}}{\color{blue}{+2x^2}}{\color{magenta}{-2x}}-1{\color{orange}{-x^4}}{\color{blue}{+x^2}}+2{\color{green}{+4x^3}} $$

$$ = x^4-2x^3+6x^2+1 $$

$\star$: consiglio furbo. Il risultato delle moltiplicazioni, scrivilo sempre fra parentesi... così non sbagli mai i segni!