Esercizio 1 - difficoltà: 1
Scomponi il seguente polinomio
$$a^4b+a^3b^2+a^2b^2+ab^3$$
Soluzione:
Come prima ricordiamo l'ordine con cui provare i metodi di scomposizione:
- raccoglimento totale;
- raccoglimento parziale;
- prodotti notevoli;
- trinomio particolare di secondo grado;
- Ruffini.
Ricordiamo anche la differenza fra "termini" e "fattori": i termini (che chiamo T) sono separati da segni $+$ o $-$, i fattori (che chiamo F) sono separati dalla $\cdot$.
\begin{align*} & \underbrace{a^4b}_{\text{T}}+\underbrace{a^3b^2}_{\text{T}}+\underbrace{a^2b^2}_{\text{T}}+\underbrace{ab^3}_{\text{T}} \\ & \\ & \underbrace{a^4}_{F}\underbrace{b}_{F}+\underbrace{a^3}_{F}\underbrace{b^2}_{F}+\underbrace{a^2}_{F}\underbrace{b^2}_{F}+\underbrace{a}_{F}\underbrace{b^3}_{F} \end{align*}
Proviamo il primo metodo, il raccoglimento totale. Ci dobbiamo chiedere: ci sono fattori che sono presenti in tutti i termini?
Certo, sia il fattore $a$, sia il fattore $b$. Quindi posso fare un raccoglimento totale: raccolgo $a$ (con esponente $1$ perchè è il più basso) e anche $b$ (con esponente $1$ perchè è il più basso).
\begin{align*} & a^4b+a^3b^2+a^2b^2+ab^3 \\ & = ab \cdot (a^3+a^2b+ab+b^2) \end{align*}
Ricordo che per calcolare cosa scrivere dentro la parentesi tonda, bisogna conoscere la moltiplicazione fra monomi e le proprietà delle potenze.
Mi concentro ora su ciò che sta dentro la parentesi tonda:
\begin{align*} & \underbrace{a^3}_{\text{T}}+\underbrace{a^2b}_{\text{T}}+\underbrace{ab}_{\text{T}}+\underbrace{ab^2}_{\text{T}} \\ & \\ & \underbrace{a^3}_{F}+\underbrace{a^2}_{F}\underbrace{b}_{F}+\underbrace{a}_{F}\underbrace{b}_{F}+\underbrace{b^2}_{F} \end{align*}
Avendo già fatto un raccoglimento totale (se l'ho fatto giusto) non c'è più niente di comune. Proseguo con il raccoglimento parziale, ossia faccio di nuovo un raccoglimento totale ma solo su un "pezzo" del polinomio. Guardo i primi due termini: hanno in comune $a^2$. Guardo gli ultimi due termini: hanno in comune $b$.
\begin{align*} & a^3+a^2b+ab+b^2 \\ & = a^2 \cdot (a+b) +b \cdot (a+b) \\ & = \underbrace{a^2}_{F} \cdot \underbrace{(a+b)}_{F} +\underbrace{b}_{F} \cdot \underbrace{(a+b)}_{F} \end{align*}
Ora che ho fatto un raccoglimento parziale, vedo che mi è saltato fuori un fattore di nuovo comune: $(a+b)$ che raccolgo.
\begin{align*} & a^2 \cdot (a+b) +b \cdot (a+b) \\ & = (a+b) \cdot (a^2+b) \end{align*}
Riprendo in mano tutto il polinomio e ho la soluzione finale:
\begin{align*} & a^4b+a^3b^2+a^2b^2+ab^3 \\ & = ab \cdot (a^3+a^2b+ab+b^2) \\ & = ab \cdot (a+b) \cdot (a^2+b) \end{align*}
Come faccio a capire che ho finito?
Guardo ogni singolo fattore, e per ogni singolo fattore verifico che nessun metodo funziona più.