Esercizio 1 - difficoltà: 1
Risolvi il seguente sistema:
$$ \begin{cases} \frac{1}{2}(x-1) \leq \frac{x}{5} \\ x^2+5x-6 \geq 0 \end{cases} $$Soluzione:
I sistemi di disequazioni si risolvono seguendo questi step:
- si risolvono singolamente le disequazioni (come se il sistema non ci fosse) e si arriva alle soluzioni; \\
- si graficano le soluzioni trovate (attenzione: il numero delle righe nel grafico deve essere uguale al numero di disequazioni);
- si scelgono gli intervalli in cui ci sono contemporaneamente tutte le soluzioni.
Partiamo con il primo. Risolviamo la prima disequazione: è una disequazione di primo grado.
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}(x-1) & \leq \frac{x}{5} \\ 10 \cdot \frac{1}{2}(x-1) & \leq \frac{x}{5} \cdot 10 \\ 5(x-1) & \leq 2x \\ 5x-5 & \leq 2x \\ 5x-2x & \leq +5 \\ 3x & \leq 5 \\ \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \cancel{3}x & \leq 5 \cdot \frac{1}{3} \\ x & \leq \frac{5}{3} \end{aligned} $$La prima soluzione è: $x \leq \frac{5}{3}$.
Risolviamo le seconda disequazione: è una disequazione di secondo grado.
$$ \begin{aligned} x^2+5x-6 & \geq 0 \\ & \downarrow \\ \text{eq. } & \text{ associata} \\ x^2+5x-6 & = 0 \\ \Delta & = (5)^2-4(1)(-6) = 25+24 = 49 \\ x_{1/2} & = \frac{-(5)\pm \sqrt{49}}{2(1)} \\ & = \frac{-5 \pm 7}{2} \\ x = -6 \; & \vee \; x = 1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \rightarrow \text{intervalli esterni} \\ x \leq -6 \; & \vee \; x \geq 1 \end{aligned} $$La seconda soluzione è: $x \leq -6 \; \vee \; x \geq 1$.
Ora che abbiamo le due soluzioni delle due disequazioni, disegniamole sul seguente grafico: dobbiamo tracciare una linea continua dove c'è la soluzione. Ricordo che avendo due disequazioni, devo avere due righe dove disegnare.
Avendo due disequazioni, prendo come soluzione gli intervalli in cui ci sono due righe continue (parte gialla in figura). La soluzione finale è
$$x \leq -6 \; \vee \; 1 \leq x \leq \frac{5}{3}$$