Esercizio 1 - difficoltà: 1

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione

$$y = x^4-5x^2+4$$

Soluzione:

Come prima cosa ricordo a grandi linee gli step necessari per studiare una funzione

  1. trovare le condizioni di esistenza (C.E.)
  2. vedere se la funzione è simmetrica
  3. stabilire il segno della funzione, ossia guardare quando la funzione è maggiore o uguale a zero
  4. limiti agli estremi e nei punti di discontinuità (se ci sono)
  5. studio della derivata prima per trovare massimi e minimi
  6. studio della derivata seconda per trovare punti di flesso

Il primo consiglio che darei è quello di disegnare SUBITO ogni cosa che trovo in ogni step, così non si perdono dati per strada.

STEP 1

In questo caso non ci sono condizioni di esistenza, ossia la funzione è ben definita in tutto \( \mathbb{R} \). Infatti, la funzione è un polinomio di quarto grado, quindi sappiamo già che ha come dominio \( \mathbb{R} \) e non ha punti di discontinuità.

STEP 2

Vedere se la funzione è simmetrica significa vedere se è pari o dispari. Ricordiamo che una funzione \( f \) è pari se

$$f(-x) = f(x)$$

mentre è dispari se

$$f(-x) = -f(x)$$

Andiamo quindi a calcolare nel nostro caso \( f(-x) \):

$$ \begin{align*} f(-x) & = (-x)^4-5(-x)^2+4 \\ & = x^4-5x^2+4 \\ & = f(x) \end{align*} $$

La funzione è quindi pari: questo significa che il grafico sarà simmetrico rispetto all'asse \( y \).

STEP 3

Andiamo ora a vedere quando \( y = f(x) = x^4-5x^2+4 \geq 0 \).

Per risolvere questa disequazione introduciamo una variabile ausiliaria: poniamo \( t = x^2 \). Così facendo, la disequazione diventa

$$t^2-5t+4 \geq 0$$

Abbiamo quindi trasformato una disequazione di quarto grado in una disequazione di secondo grado, che sappiamo risolvere.

$$ \begin{align*} t^2-5t+4 & \geq 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ t^2-5t+4 & = 0 \\ t_{1/2} & = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(1)(4)}}{2(1)} \\ & = \frac{+5\pm\sqrt{25-16}}{2} \\ & = \frac{5 \pm 3}{2} \\ & = \begin{cases} 4 \\ 1 \end{cases} \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ t \leq 1 \; \; & \vee \; \; t \geq 4 \end{align*} $$

Ora che ho trovato la soluzione in \( t \), devo tornare indietro e sostituire \( t=x^2 \) per trovare le soluzioni in \( x \).

Dalla prima disuguaglianza \( t \leq 1 \) ottengo

$$ \begin{align*} t & \leq 1 \\ x^2 & \leq 1 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \leq & \Rightarrow \text{intervalli interni:} \\ -1 \leq \; & x \leq 1 \end{align*} $$

Dalla seconda disuguaglianza \( t \geq 4 \) ottengo

$$ \begin{align*} t & \geq 4 \\ x^2 & \geq 4 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq -2 \; \; & \vee \; \; x \geq 2 \end{align*} $$

Mettendo tutto insieme, abbiamo scoperto che la funzione è positiva in

$$x \leq -2 \vee -1 \leq x \leq 1 \vee x \geq 2$$

Riportiamo queste informazioni sul grafico. Indico con il grigio le zone in cui la funzione "non c'è"; i pallini rossi sull'asse delle \( x \) indicano le intersezioni (i punti in cui la funzione è zero), ossia i punti \( x = \pm 2, x = \pm 1 \) nel nostro caso.

STEP 4

Andiamo a vedere i limiti agli estremi del nostro dominio.

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x^4-5x^2+4 = "+\infty-\infty"$$

Per risolvere la forma indeterminata basta semplicemente raccogliere il termine di grado maggiore, ossia \( x^4 \).

$$ \begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} x^4-5x^2+4 & = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^4\left(1-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^4}\right) \\ & = +\infty \end{align*} $$

perchè le due frazioni fra parentesi tendono a zero.

Abbiamo quindi ottenuto che la funzione va a \(+\infty\) per \(x\rightarrow + \infty\). Poichè abbiamo stabilito che la funzione è pari, ossia simmetrica rispetto l'asse \(y\) ho che anche il limite per \(x \rightarrow -\infty\) è \(+\infty\).

Siamo ufficialmente nel caso in cui potrebbero esserci degli asintoti obliqui. Dobbiamo andare a verificare se esiste un asintoto obliquo, ossia se la funzione tende a una retta del tipo \( y = mx + q \) quando \(x\rightarrow + \infty\). Ricordo che in generale il primo step è calcolare

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$$

Se il limite di \( \frac{f(x)}{x} \) esiste finito, allora quel limite sarà il coefficiente di \( x \) nella formula della retta. Il secondo step è calcolare

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) -mx = q$$

Se il limite di \( f(x) -mx \) esiste finito, allora quel limite sarà il termine noto nella formula della retta.

Andiamo quindi a calcolare

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$$

Nel nostro caso diventa

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^4-5x^2+4}{x}$$

Come prima, raccogliamo il termine di grado maggiore a numeratore:

$$ \begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^4-5x^2+4}{x} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^4\left(1-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^4}\right)}{x} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3\left(1-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^4}\right)}{1} \\ & = +\infty \end{align*} $$

Dal momento che non abbiamo trovato un limite finito, la funzione non ha asintoti obliqui nè a \(+\infty\) nè a \(-\infty\) visto che è una funzione simmetrica rispetto l'asse \(y\).

Riportiamo sul grafico quello che abbiamo trovato. Disegno in rosso la funzione.

STEP 5

Calcoliamo la derivata prima: indico con \( D \) o \( ' \) il simbolo di derivata.

$$ \begin{align*} y^{'} & = D(x^4-5x^2+4) \\ & = D(x^4)-5D(x^2)+D(4) \\ & = 4x^3-5(2x)+0 \\ & = 4x^3-10x \end{align*} $$

Devo ora studiare il segno della derivata prima, ossia quando \( y^{'} \geq 0 \). Nel nostro caso

$$4x^3-10x \geq 0$$

Raccolgo \( 2x \) e ottengo

$$2x(2x^2-5) \geq 0$$

Visto che ho un prodotto, studio singolarmente i due fattori.

Fattore 1: \(2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\)

Fattore 2: \(2x^2-5 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq \frac{5}{2} \Rightarrow x \leq -\sqrt{\frac{5}{2}} \vee x \geq \sqrt{\frac{5}{2}}\)

Costruisco quindi il castello dei segni per stabilire il segno del prodotto

La funzione è quindi decrescente negli intervalli \( \left(-\infty,-\sqrt{\frac{5}{2}}\right) \) e \( \left(0, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) \) mentre è crescente in \( \left(-\sqrt{\frac{5}{2}},0\right) \) e \( \left(\sqrt{\frac{5}{2}},+\infty\right) \).

Abbiamo quindi che zero è un massimo relativo della funzione (relativo perchè la funzione tende a infinito agli estremi), mentre \( \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \) sono minimi assoluti.

STEP 6

Calcoliamo la derivata seconda.

$$ \begin{align*} y^{''} & = D(4x^3-10x) \\ & = 4D(x^3)-10D(x) \\ & = 4(3x^2)-10(1) \\ & = 12x^2-10 \end{align*} $$

Devo ora studiare il segno della derivata seconda, ossia quando \( y^{''} \geq 0 \). Nel nostro caso

$$ \begin{align*} 12x^2-10 & \geq 0 \\ 12x^2 & \geq 10 \\ x^2 & \geq \frac{10}{12} \\ x^2 & \geq \frac{5}{6} \\ & \downarrow \\ \text{equazione} \; & \; \text{associata} \\ x^2 & = \frac{5}{6} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}\\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq -\sqrt{\frac{5}{6}} \; \; & \vee \; \; x \geq \sqrt{\frac{5}{6}} \end{align*} $$

Dallo studio della derivata seconda possiamo quindi dire che esistono due punti di flesso: \(x=\pm \sqrt{\frac{5}{6}}\).

La funzione è quindi convessa \( (y^{''} > 0) \) in \( \left(-\infty, -\sqrt{\frac{5}{6}}\right) \cup \left(\sqrt{\frac{5}{6}},+\infty\right) \) mentre è concava \( (y^{''} < 0) \) in \( \left(-\sqrt{\frac{5}{6}}, \sqrt{\frac{5}{6}}\right) \).

Il grafico finale della funzione è quindi