Esercizio 2 - difficoltà: 1

Determina in quanti modi diversi possiamo distribuire otto tavolette di cioccolato a cinque bambini.

Soluzione:

Come prima cosa ricordiamo la differenza fra disposizioni, permutazioni e combinazioni.

Le disposizioni semplici di $n$ elementi distinti di classe $k$ (con $k\leq n$) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con $k$ elementi, presi fra gli $n$, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per il loro ordine.

Le permutazioni semplici di $n$ elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli $n$ elementi che differiscono per il loro ordine.

Le combinazioni semplici di $n$ elementi distinti di classe $k$ (con $k \leq n$) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con $k$ elementi, presi fra gli $n$, e tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per almeno un elemento contenuto.

Nel nostro caso abbiamo $n=5$ bambini e $k=8$ tavolette. Visto che l'ordine con cui i bambini si presentano non è importante, siamo nell'ambito delle combinazioni, e non delle disposizioni (dove invece l'ordine è importante).

Tradotto: non importa se prima do una tavoletta al bambino numero 2 e poi una tavoletta al bambino numero 4, ma è importante quante ne ho date a testa.

In particolare, abbiamo combinazioni con ripetizione che si calcolano come

$$ \begin{aligned} C_{n,k}^{'} & = \binom{n+k-1}{k} \\ & = \frac{(n+k-1)\cdot (n+k-2) \cdot \dots \cdot (n+1) \cdot n}{k!} \end{aligned} $$

Nel nostro caso quindi

$$ \begin{aligned} C_{5,8}^{'} & = \binom{12}{8} \\ & = \frac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5}{8!} \\ & = \frac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5}{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ & = 11\cdot 5 \cdot 9 \\ & = 495 \end{aligned} $$

Possiamo quindi distribuire otto tavolette di cioccolato a cinque bambini in $495$ modi diversi.