Esercizio 2 – difficoltà 1
Data la seguente funzione, verifica se nell’intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Rolle e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema:
\[ f(x) = 4x^2 - 2x \qquad [-1,3] \]Soluzione:
Come prima cosa ricordiamo l'enunciato del teorema di Rolle:
Data una funzione \(f(x)\) definita in un intervallo limitato e chiuso \([a,b]\) con le seguenti proprietà:
- \(f(x)\) è continua in \([a,b]\)
- \(f(x)\) è derivabile in \((a,b)\)
- \(f(a) = f(b)\)
allora esiste almeno un punto \(c\), interno all’intervallo, per il quale risulta \(f'(c) = 0\).
Per capire se questo teorema è applicabile nel nostro caso, dobbiamo andare a vedere se le tre ipotesi sono vere per la funzione \(f(x)\) data.
Prima cosa da verificare: \(f(x)\) continua in \([-1,3]\)
Dato che \(f(x)\) è una funzione polinomiale (di fatto è una parabola essendo un polinomio di secondo grado), essa è continua su tutto \(\mathbb{R}\). In particolare quindi è continua in \([-1,3]\).
Seconda cosa da verificare: \(f(x)\) derivabile in \((-1,3)\)
Per lo stesso motivo del punto precedente, dato che \(f(x)\) è una funzione polinomiale, essa è derivabile in tutta \(\mathbb{R}\). In particolare è derivabile in \((-1,3)\).
MEMO: In generale una funzione polinomiale è una funzione del tipo
\[ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \]dove \(a_0,\dots,a_n\) sono numeri reali. Fra le varie proprietà delle funzioni polinomiali, c'è in particolare il fatto che una funzione polinomiale è continua su tutto \(\mathbb{R}\) e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\).
Terza cosa da verificare: \(f(-1) = f(3)\)
Calcoliamo le due quantità separatamente:
\[ \begin{aligned} f(-1) &= 4(-1)^2 - 2(-1) \\ &= 4(1) + 2 \\ &= 6 \\ f(3) &= 4(3)^2 - 2(3) \\ &= 4(9) - 6 \\ &= 30 \end{aligned} \]Vediamo quindi che \(f(-1)\) non è uguale a \(f(3)\): \(f(-1) \neq f(3)\).
Venendo meno questa ipotesi del teorema, esso non è applicabile. Ricordo infatti che per poter applicare un teorema devono essere valide TUTTE le ipotesi.