Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente disequazione in $[0,2\pi]$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \geq 0$$

Soluzione:

Che cosa ci sta chiedendo la disequazione?

Sostanzialmente ci stiamo chiedendo quando il seno di un angolo è maggiore o uguale di zero.

Ricordiamo quando il seno è positivo: guardando la circonferenza unitaria e ricordando che il seno di un angolo si legge sull'asse delle $y$, il seno è positivo per tutti gli angoli compresi fra $0$ e $\pi$ (in rosso in figura sotto).

$$ \begin{aligned} \sin(\text{angolo } \alpha) & \geq 0 \\ & \downarrow \\ 0 \leq \text{angolo } \alpha & \leq \pi \end{aligned} $$

Nel nostro caso quindi

$$ 0 \leq x-\frac{\pi}{3} \leq \pi $$

Attenzione: non metto la periodicità (il $+2k\pi$) perchè il testo mi dice di risolvere la disquazione in $[0,2\pi]$.

La prima parte della disquazione diventa:

$$ \begin{aligned} x - \frac{\pi}{3} & \geq 0 \\ x & \geq \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

mentre la seconda parte della disquazione diventa:

$$ \begin{aligned} x - \frac{\pi}{3} & \leq \pi \\ x & \leq \pi + \frac{\pi}{3} \\ x & \leq \frac{3\pi+\pi}{3} \\ x & \leq \frac{4}{3}\pi \end{aligned} $$

La soluzione è quindi

$$ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{4}{3}\pi $$