Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente disequazione intera numerica:

$$ x(x-2)>(x-1)^2+2 $$

Soluzione:

Moltiplico tutti i termini ricordando lo sviluppo di un quadrato $(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$:

$$ x^2 - 2x > x^2 + 1 - 2x + 2 $$

Porto tutti i termini con la $x$ a sinistra, tutti quelli senza la $x$ a destra, ricordando che quando sposto i termini da una parte all’altra di una disuguaglianza devo cambiare il segno:

$$ x^2-2x-x^2+2x > +1+2 $$

Sommo i termini con lo stesso grado e vedo che il termini di secondo grado scompaiono:

$$ -2x+2x > +3 $$

A sinistra ottengo $0$. La disuguaglianza diventa quindi

$$ 0 > +3 $$

ATTENZIONE: il fatto che la $x$ sia scomparsa, non ci deve preoccupare. Risolvere la disuguaglianza di partenza equivale a risolvere $0>+3$. Quindi, siamo arrivati a una disuguaglianza che, a parole, ci sta chiedendo quando $0$ è maggiore di $+3$. E quand’è che $0$ è maggiore di $+3$? MAI. Quando una disuguaglianza è sempre falsa, indipendentemente da $x$, significa che, qualsiasi valore di $x$ io metto dentro alla disuguaglianza di partenza, ottengo sempre $0>+3$, che non è mai vera. Dal fatto che inserendo qualsiasi valore di $x$ ottengo sempre una disuguaglianza falsa, significa che nessun valore di $x$ va bene. In termini matematici, si dice che non esiste un $x$ che mi risolve la disuguaglianza. La soluzione è quindi

$$ \nexists \; x \in \mathbb{R} $$