Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione
$$ 8(x^2+2-x) < x(16-x) $$Soluzione:
Come prima cosa ricordiamo gli step da compiere per risolvere una disequazione di secondo grado.
- svolgere i conti per arrivare a una forma $ax^2+bc+c \gtreqless 0$ con $a > 0$
- risolvere l'equazione associata $ax^2+bx+c=0$
- disegnare la parabola
- scegliere gli intervalli giusti
Svolgiamo i conti nel nostro caso.
$$ \begin{aligned} 8(x^2+2-x) & < x(16-x) \\ 8x^2 + 16 -8x & < 16x-x^2 \\ 8x^2+16-8x -16x + x^2 & < 0 \\ 9x^2-24x +16 & < 0 \end{aligned} $$Data la formula generale $ax^2 + bx + c$, nel nostro caso abbiamo $a=+9$, $b=-24$, e $c=+16$. Dato che $a$ è positivo, possiamo procedere e risolvere l'equazione associata:
$$ 9x^2 -24x +16 = 0 $$Applico la formula
$$ \begin{aligned} \Delta & = (b)^2 -4(a)(c) \\ & = (-24)^2-4(9)(16) \\ & = 576-576 \\ & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-(b) \pm \sqrt{\Delta}}{2(a)} \\ & = \frac{-(-24) \pm \sqrt{0}}{2(9)} \\ & = \frac{+24}{18} = \frac{4}{3} \end{aligned} $$L'equazione ha una sola soluzione $x = \frac{4}{3}$.
Disegno ora la parabola, ricordando che partendo con $a>0$ è sempre una parabola rivolta verso l'alto. Avendo trovato una soluzione dell'equazione associata, la parabola tocca in un punto l'asse.
Torniamo all'ultima disequazione scritta prima dell'equazione associata:
$$ 9x^2-24x +16 < 0 $$Visto che volevamo l'espressione minore di zero, devo scegliere gli intervalli dove c'è il segno meno (senza i punti che toccano l'asse). Ma non ci sono intervalli con il segno meno, quindi la disequazione è impossibile.
$$ \nexists \; x \in \mathbb{R} $$Nota: modo alternativo (più veloce) per risolverla.
Prima di partire diretti con l'equazione associata, guardiamo un attimo cosa abbiamo ottenuto e ci rendiamo conto che il termine a sinistra è un quadrato:
$$ (3x-4)^2 < 0 $$Ci stiamo quindi chiedendo quando un quadrato è strettamente minore di zero: è possibile che un quadrato sia minore di zero? NO, infatti quella disequazione non è mai verificata.
$$ \underbrace{(3x-4)^2}_{\text{sempre} \; \geq 0 } < 0 \rightarrow \text{impossibile} $$La disequazione quindi non ha soluzioni: $\nexists x \in \mathbb{R}$.