Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente disequazione applicando il metodo necessario

$$ 2^x < \frac{7^{x+1}}{2} $$

Soluzione:

Avendo esponenziali con basi diverse, escludo in metodo di sostituzione (introducendo un'incognita ausiliaria). L'obiettivo è quindi quello di arrivare utilizzare le proprietà delle potenze e arrivare a una forma del tipo $a^x \gtrless b$ con $a>0$.

$$ \begin{aligned} 2^x & < \frac{7^{x+1}}{2} \\ 2^x & < \frac{7^{x} \cdot 7^1}{2} \\ \frac{1}{7^x} \cdot 2^x & < \frac{7^{x} \cdot 7}{2} \cdot \frac{1}{7^x} \\ \frac{2^x}{7^x} & < \frac{7}{2} \\ \left(\frac{2}{7}\right)^x & < \left(\frac{2}{7}\right)^{-1} \\ & \downarrow \\ \text{base minore di uno:} & \; \; \text{inverto il verso} \\ x & > -1 \end{aligned} $$

Nota: posso tranquillamente dividere destra e sinistra per $7^x$ senza preoccuparmi del segno (e quindi del verso della disuguaglianza) perchè gli esponenziali sono sempre strettamente positivi.