Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente disequazione irrazionale
$$ 2\sqrt{1-x+x^2} < 1-2x $$Soluzione:
Come prima cosa notiamo che la disequazione è già scritta *quasi* "bene", nel senso che vogliamo arrivare ad avere a sinistra della disuguaglianza solo il termine con la radice e a destra della disuguaglianza tutto il resto. Per avere solo la radice a sinistra, devo quindi dividere tutto per $2$:
$$ \begin{aligned} 2\sqrt{1-x+x^2} & < 1-2x \\ \frac{2\sqrt{1-x+x^2}}{2} & < \frac{1-2x}{2} \\ \sqrt{1-x+x^2} & < \frac{1-2x}{2} \end{aligned} $$Possiamo ora applicare la formula. Siamo nel caso di indice di radice pari (uguale a $2$) con disequazione del tipo $\sqrt{A(x)} < B(x)$. Formula ci dice che la disuguaglianza è equivalente a risolvere
$$ \begin{cases} A(x) \geq 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < [B(x)]^2 \end{cases} $$dove, nel nostro caso, $A(x) = 1-x+x^2$ e $B(x) = \frac{1-2x}{2}$.
Il sistema diventa quindi
$$ \begin{cases} 1-x+x^2 \geq 0 \\ \frac{1-2x}{2} > 0 \\ 1-x+x^2 < \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 \end{cases} $$Partiamo con la risoluzione della prima disequazione.
$$ x^2-x+1 \geq 0 $$Vediamo subito che si tratta di una disequazione di secondo grado. Ricordiamo come si risolvono.
Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho
- espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$
- $\textbf{a}>0$
- delta positivo: $\Delta > 0$
- $x_1,x_2$ soluzioni dell'equazione associata con $x_2 < x_1$
Allora $ax^2+bx+c > 0$ ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$, mentre $ax^2+bx+c < 0$ ha soluzione $x_2 < x < x_1$. A parole, se voglio l'espressione positiva devo prendere l'unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell'equazione associata. Se invece voglio l'espressione negativa, devo prendere l'intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.
Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho
- espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$
- $\textbf{a}>0$
- delta negativo: $\Delta < 0$
Allora $ax^2+bx+c > 0$ ha soluzione $\forall \; x \in \mathbb{R}$, mentre $ax^2+bx+c < 0$ ha soluzione $\nexists \; x \in \mathbb{R}$. A parole, se $a > 0$ e delta è negativo, l'espressione $ax^2+bx+c$ è sempre positiva: quindi la disuguaglianza con il maggiore è sempre verificata mentre non lo è mai quella con il minore.
Andiamo quindi a risolvere la nostra:
$$ \begin{aligned} x^2-x+1 & \geq 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ x^2-x+1 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1-4(1)(1)}}{2(1)} \\ & = \frac{+1 \pm \sqrt{-3}}{2} \end{aligned} $$Abbiamo ottenuto un delta negativo: $\Delta = -3$. Secondo le regole ricordate prima, la disequazione è sempre verificata e ha quindi come soluzione
$$ \forall \; x \in \mathbb{R} $$Passiamo a risolvere la seconda disequazione del sistema.
$$ \begin{aligned} \frac{1-2x}{2} & > 0 \\ 2 \cdot \frac{1-2x}{2} & > 0 \cdot 2 \\ 1-2x & > 0 \\ -2x & > -1 \\ \text{moltiplico destra e sinistra }& \downarrow \text{per $-1$ cambiando il verso}\\ 2x & < 1 \\ \frac{2x}{2} & < \frac{1}{2} \\ x & < \frac{1}{2} \end{aligned} $$Infine, andiamo a risolvere la terza disequazione del sistema.
$$ \begin{aligned} 1-x+x^2 & < \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 \\ 1-x+x^2 & < \frac{(1-2x)^2}{4} \\ 4 \cdot (1-x+x^2) & < \frac{(1-2x)^2}{4} \cdot 4 \\ 4-4x+4x^2 & < 1-4x+4x^2 \\ 4-4x+4x^2-1+4x-4x^2 & < 0 \\ 3 & < 0 \end{aligned} $$Abbiamo quindi ottenuto una disuguaglianza palesemente falsa: $3$ non è minore di zero. Ciò vuol dire che la disequazione che stavamo provando a risolvere non ha soluzione:
$$ \nexists \; x \in \mathbb{R} $$Possiamo ora riprendere in mano il sistema di partenza.
$$ \begin{aligned} & \begin{cases} 1-x+x^2 \geq 0 \\ \frac{1-2x}{2} > 0 \\ 1-x+x^2 < \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} \forall \; x \in \mathbb{R} \\ x < \frac{1}{2} \\ \nexists \; x \in \mathbb{R} \end{cases} \end{aligned} $$
La soluzione del sistema è data dagli intervalli in cui compaiono tutte e tre le soluzioni contemporanemente: nel nostro caso non c'è nessun intervallo in cui ciò succede. La disequazione di partenza non ha quindi soluzione:
$$ \nexists \; x \in \mathbb{R} $$Memo: quando in un sistema di disequazioni/equazioni una soluzione di almeno una delle disequazioni/equazioni è l'insieme vuoto (ossia $\nexists \; x \in \mathbb{R}$), in automatico anche il sistema non ammette soluzioni.
Ciò deriva dal fatto che mettere a sistema significa intersecare le soluzioni delle disequazioni/equazioni: dalle regole insiemistiche sappiamo che il vuoto intersecato con qualsiasi cosa dà sempre il vuoto.