Esercizio 2 - difficoltà: 1

Data l'equazione dell'ellisse determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l'eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

$$ x^2+9y^2 = 36 $$

Soluzione:

Come prima cosa riscrivo l'equazione in forma canonica, ossia del tipo $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$: per fare ciò, devo dividere destra e sinistra per 36.

$$ \begin{aligned} x^2+9y^2 &= 36 \\ \frac{1}{36} \cdot (x^2+9y^2) &= 36 \cdot \frac{1}{36} \\ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} &= 1 \end{aligned} $$

Avendola scritta in forma canonica ho subito che

$$ \begin{aligned} a^2 = 36 &\rightarrow a = 6 \; \; \text{(semiasse maggiore)} \\ b^2 = 4 &\rightarrow b = 2 \; \; \text{(semiasse minore)} \end{aligned} $$

Dato che $a > b$, l'ellisse ha i fuochi sull'asse $x$.

Le coordinate dei vertici diventano quindi

$$ \begin{aligned} A(-a,0) &\rightarrow A(-6,0) \\ B(a,0) &\rightarrow B(6,0) \\ C(0,-b) &\rightarrow C(0,-2) \\ D(0,b) &\rightarrow D(0,2) \end{aligned} $$

Per calcolare i fuochi e l'eccentricità ho bisogno di sapere $c$, che posso trovare tramite la formula $c^2 = a^2-b^2$:

$$ c = \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = \sqrt{2^4\cdot 2} = \sqrt {2^4} \cdot \sqrt{2} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} $$

Le coordinate dei fuochi sono quindi

$$ \begin{aligned} F_1(-c,0) &\rightarrow F_1(-4\sqrt{2},0) \\ F_2(c,0) &\rightarrow F_2(4\sqrt{2},0) \end{aligned} $$

e l'eccentricità

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

Conoscendo la misura dei semiassi, possiamo rappresentarla graficamente.