Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione

$$ \cos(3x) = -1 - \cos(3x) $$

Soluzione:

Come prima cosa devo isolare il termine con il coseno:

$$ \begin{aligned} \cos(3x) &= -1 - \cos(3x) \\ \cos(3x) + \cos(3x) &= -1 \\ 2\cos(3x) &= -1 \\ \cos(3x) &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Sono quindi arrivata a un'equazione della forma $\cos(\alpha) = h$, dove $\alpha = 3x$ e $h = -\frac{1}{2}$. Ricordiamo che

$$ \cos(\alpha) = h \qquad \begin{cases} \text{determinata se} & -1 \leq h \leq 1 \\ \text{impossibile se} & h < -1 \vee h > 1 \end{cases} $$

Dato che $h = -\frac{1}{2}$ è compreso fra -1 e 1, l'equazione è determinata, ossia ha soluzione. Sostanzialmente ci stanno chiedendo qual è quell'angolo $\alpha$ che ha coseno uguale a $-\frac{1}{2}$.

Memo: Circonferenza goniometrica

L'angolo che ha coseno uguale a $-\frac{1}{2}$ è $\frac{2}{3}\pi$ e $-\frac{2}{3}\pi$, ossia $\cos \left( \frac{2}{3}\pi\right) = \cos\left( -\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}$. Nel nostro caso quindi otteniamo

$$ \alpha = 3x = \frac{2}{3}\pi $$

oppure

$$ \alpha = 3x = -\frac{2}{3}\pi $$

Ricordiamo però che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche: ciò significa che ogni $360$°, ossia $2\pi$, sono di nuovo nello stesso punto della circonferenza goniometrica. Le soluzioni sono quindi

$$ \begin{aligned} 3x &= \frac{2}{3}\pi + 2k\pi \\ x &= \frac{2}{9}\pi + \frac{2}{3}k\pi \end{aligned} $$

oppure

$$ \begin{aligned} 3x &= -\frac{2}{3}\pi + 2k\pi \\ x &= -\frac{2}{9}\pi + \frac{2}{3}k\pi \end{aligned} $$