Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente equazione
$$ |2x^2-2x| -3x = x^2 $$Soluzione:
Le equazioni con i valori assoluti si risolvono usando la definizione di valore assoluto. Ricordiamola.
$$ \begin{aligned} |\ast(x)| & = \begin{cases} \ast(x) & \text{se} \ \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se} \ \ast(x) < 0 \end{cases} \end{aligned} $$Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l’argomento è positivo, mentre è uguale a meno l’argomento, se l’argomento è negativo.
Nel nostro caso
$$ \begin{aligned} |2x^2-2x| = \begin{cases} 2x^2-2x \; & \text{se } 2x^2-2x \geq 0 \\ -(2x^2-2x) \; & \text{se } 2x^2-2x < 0 \end{cases} \end{aligned} $$Quindi per "togliere" il valore assoluto bisogna per forza studiare separatamente due casi.
Caso 1: $2x^2-2x \geq 0$
Risolviamo intanto questa disequazione per capire in che intervallo siamo:
$$ \begin{aligned} 2x^2-2x & \geq 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione } & \text{associata}\\ 2x^2-2x & = 0 \\ \Delta & = (-2)^2-4(2)(0) = +4 \\ x_{1/2} & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4}}{2(2)} \\ & = \frac{+2 \pm 2}{4} \\ x = 0 \; & \vee \; x = 1 \\ & \downarrow \\ \text{avevo } \geq & \text{ , quindi int. esterni} \\ x \leq 0 \; & \vee \; x \geq 1 \end{aligned} $$Quindi negli intervalli $x \leq 0 \vee x \geq 1$, $|2x^2-2x| = 2x^2-2x$. Scriviamo l'equazione in questo caso e risolviamola.
$$ \begin{aligned} |2x^2-2x| -3x & = x^2 \\ 2x^2-2x -3x & = x^2 \\ 2x^2-2x-3x-x^2 & = 0 \\ x^2-5x & = 0 \\ \Delta & = (-5)^2-4(1)(0) = +25 \\ x_{1/2} & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{25}}{2(1)} \\ & = \frac{+5 \pm 5}{2} \\ x = 0 \; & \vee \; x = 5 \end{aligned} $$Abbiamo trovato due soluzioni, ma ricordiamoci che queste soluzioni (in rosso nel disegno sotto) devono valere negli intervalli in cui ci troviamo (in nero nel disegno sotto):
Caso 2: $2x^2-2x < 0$
Senza rifare i conti, essendo l'intervallo complementare (prima avevo $\geq 0$, ora ho $< 0$), in questo caso mi trovo nelle $x$ comprese fra $0$ e $1$, ossia $0 < x < 1$. In questo intervallo qui $|2x^2-2x| = -(2x^2-2x)$. Scriviamo l'equazione in questo caso e risolviamola. $$ \begin{aligned} |2x^2-2x| -3x & = x^2 \\ -(2x^2-2x) -3x & = x^2 \\ -2x^2+2x-3x-x^2 & = 0 \\ -3x^2-x & = 0 \\ (-1) \cdot (-3x^2-x) & = 0 \cdot (-1) \\ 3x^2+x & = 0 \\ \Delta & = (1)^2-4(3)(0) = +1 \\ x_{1/2} & = \frac{-(1) \pm \sqrt{1}}{2(3)} \\ & = \frac{-1 \pm 1}{6} \\ x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \; & \vee \; x = 0 \end{aligned} $$ Abbiamo trovato due soluzioni, ma ricordiamoci che queste soluzioni (in rosso nel disegno sotto) devono valere negli intervalli in cui ci troviamo (in nero nel disegno sotto):
In questo caso nessuna delle due soluzioni trovate va bene, perchè nessuna è compresa nell'intervallo $0 < x < 1$ (attenzione che zero è escluso!).
Quindi la soluzioni finale dell'esercizio è
$$ x= 0 \; \vee \; x = 5 $$