Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione

$$(x^3-4)(x^3+4) = 6x^3$$

Soluzione:

A sinistra ho un prodotto, ma a destra non ho $0$, quindi non posso applicare la legge dell'annullamento del prodotto ($A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0 \vee B = 0$). Svolgo quindi tutti i conti e porto tutto a sinistra.

$$ \underbrace{(x^3-4)(x^3+4)}_{\text{prod.notevole}} = 6x^3 \\ (x^3)^2 - (4)^2 = 6x^3 \\ x^6-16 = 6x^3 \\ x^6 -6x^3 -16 = 0 $$

A sinistra abbiamo $3$ termini: la forma assomiglia tantissimo alle equazioni di secondo grado $ax^2+bx+c = 0$. L'idea è infatti quella di controllare le due potenze e capire se si può fare una sostituzione per rendere l'equazione di grado $2$ (invece che $6$).

Bisogna quindi chiedersi: $x^6$ è il quadrato di $x^3$? Sì perchè

$$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$$

Introduco quindi la nuova variabile $t = x^3$ e riscrivo l'equazione in $t$:

$$ x^6 -6x^3 -16 = 0 \\ (x^3)^2-6(x^3)-16 = 0 \\ (t)^2-6(t)-16 = 0 \\ t^2-6t-16 = 0 $$

Cambiando variabile, otteniamo un'equazione di secondo grado, che sappiamo risovlere.

$$ t^2-6t-16 = 0 \\ \Delta = (-6)^2-4(1)(-16) = 36+64 = 100 \\ t_{1/2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{100}}{2(1)} \\ = \frac{+6 \pm 10}{2} $$

da cui otteniamo $t_1 = 8$ e $t_2 = -2$.

Ricordiamoci che l'equazione di partenza era in $x$, non in $t$: sostituisco di nuovoe e torno in $x$ per trovare le soluzioni finali.

$$ t = 8 \\ x^3 = 8 \\ x^{\overbrace{3}^{\text{disp.}}} = 8 \; \rightarrow \text{prendo la radice} \\ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{8} \\ x = \sqrt[3]{2^3} \\ x = 2 $$

Allo stesso modo

$$ t = -2 \\ x^3 = -2 \\ x^{\overbrace{3}^{\text{disp.}}} = -2 \; \rightarrow \text{prendo la radice} \\ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{-2} \\ x = -\sqrt[3]{2} $$

Le due soluzioni sono quindi $x = 2$ e $x = -\sqrt[3]{2}$.