Esercizio 2 - difficoltà: 1

In un triangolo $ABC$, l'altezza $CH$ relativa alla base $AB$ è $5cm$ in meno della base stessa. L'area del triangolo è $42cm^2$. Determina le lunghezze del lato $AB$ e dell'altezza $CH$.

Soluzione:

Non è obbligatorio fare il disegno, ma visualizzare può aiutare.

Scriviamo i dati:

$$ CH = AB - 5 \\ A_{ABC} = \frac{AB \cdot CH}{2} = 42 \\ AB = ? \\ CH = ? $$

Nota: leggo "$CH$ è" e scrivo "$CH = $". Leggo "$5cm$ in meno" e scrivo "$-5$". Leggo "della base" e so a cosa devo togliere $5$. Quindi $CH = AB -5$.

Ricordo anche la formula dell'area di un triangolo, ossia $\frac{\text{Base} \cdot \text{Altezza}}{2}$.

Con i problemi geometrici, una volta scritti dati, l'obiettivo è introdurre la variabile $x$: come? Ponendo $x$ uguale a qualcosa che mi permette di riscrivere tutti i dati in funzione di $x$. Come faccio a scegliere? Guardo i dati e tendenzialmente scelgo un elemento che sta scritto a destra degli uguali. Nel nostro caso scegliamo

$$AB = x$$

perchè con questa scelta i dati diventano

$$ AB = x \\ CH = AB -5 = x -5 \\ A_{ABC} = \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{x \cdot (x-5)}{2} $$

ossia li ho scritti tutti in funzione di $x$ (ossia che dipendono tutti da $x$).

Dal dato $A_{ABC} = 42$ ottengo l'equazione da risolvere:

$$ A_{ABC} = 42 \\ \frac{x \cdot (x-5)}{2} = 42 \\ 2 \cdot \frac{x \cdot (x-5)}{2} = 42 \cdot 2 \\ x \cdot (x-5) = 84 \\ x^2 -5x = 84 \\ x^2 -5x -84 = 0 $$

Siamo arrivati alla classica form $ax^2+bx+c = 0$ dove nel nostro caso $a = 1, b = -5, c = -84$. Applichiamo la formula risolutiva $\Delta = (b)^2-4(a)(c)$ e $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

$$ \Delta = (-5)^2 -4(1)(-84) = 25+336 = 361 \\ x_{1/2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{361}}{2(1)} \\ = \frac{+5 \pm 19}{2} $$

Otteniamo le due soluzioni $x = 12$ o $x = - 7$. Quando arriviamo alla soluzione di un problema, dobbiamo sempre dare un senso a quello che abbiamo trovato.

Che cos'era la $x$? La $x$ indicava la lunghezza del lato $AB$. Può la lunghezza di un lato essere negativa? No, quindi $x = -7$ non è una soluzione accettabile. Le soluzioni sono quindi

$$ AB = x = 12cm \\ CH = x-5 = 12-5 = 7cm $$