Esercizio 2 - difficoltà: 2
Risolvi la seguente equazione differenziale
$$2yy^{'}-y^{2}x-2x = 0$$
Soluzione:
Come prima cosa isoliamo la derivata di $y$:
$$ 2yy^{'}-y^{2}x-2x = 0 \\ 2yy^{'} = y^{2}x+2x \\ y^{'} = \frac{y^{2}x+2x}{2y} \\ y^{'} = \frac{x(y^2+2)}{2y} \\ y^{'} = x\left(\frac{y^2+2}{2y}\right) \\ y^{'} = \underbrace{x}_{\text{funzione di x}}\underbrace{\left(\frac{y^2+2}{2y}\right)}_{\text{funzione di y}} $$
Siamo quindi di fronte a un'equazione differenziale del tipo
$$y^{'} = g(x)\cdot h(y)$$
dove, nel nostro caso, $g(x) = x$ e $h(y) = \frac{y^2+2}{2y}$.
Per risolverla si applica il metodo della separazione delle variabili.
Piccola parentesi per capire come funziona questo metodo:
Sappiamo che scrivere $y$ o scrivere $f(x)$ è lo stesso: modi diversi per scrivere la stessa identica cosa. Analogamente, ci sono vari modi per indicare la derivata: i più comuni sono $'$ oppure $D$. Un terzo modo è
$$\frac{d(\text{cosa voglio derivare})}{d(\text{variabile rispetto a cui voglio fare la derivata})}$$
Per esempio, se voglio derivare la nostra funzione $f(x)$ rispetto alla variabile $x$ (tradotto: la derivata che facciamo sempre) posso scrivere equivalentemente
$$\frac{d f(x)}{dx}, D(f(x)), f^{'}(x)$$
E visto che scrivere $f(x)$ è come scrivere $y$ ho
$$\frac{dy}{dx}, D(y), y^{'}$$
Ora, se invece di $y^{'}$ scrivo $\frac{dy}{dx}$ e lo tratto come se fosse una frazione, ottengo
$$ y^{'} = g(x)h(y) \\ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $$
Moltiplico destra e sinistra per $\frac{dx}{h(y)}$:
$$ \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{h(y)} = g(x)h(y) \cdot \frac{dx}{h(y)} \\ \frac{dy}{h(y)} = g(x)dx $$
Integro destra e sinistra:
$$ \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx $$
e calcolo infine i due integrali separatamente.
Applichiamo questo metodo al nostro caso.
$$ \frac{dy}{dx} = x\left(\frac{y^2+2}{2y}\right) \\ \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{\frac{y^2+2}{2y}} = x\left(\frac{y^2+2}{2y}\right) \cdot \frac{dx}{\frac{y^2+2}{2y}} \\ \frac{dy}{\frac{y^2+2}{2y}} = xdx \\ \frac{2y}{y^2+2}dy = xdx \\ \int \frac{2y}{y^2+2}dy = \int xdx $$
Risolviamo ora i due integrali separatamente. Quello a destra è facile e otteniamo
$$\int xdx = \frac{x^2}{2}+c$$
Per quello a sinistra invece basta notare che a numeratore della frazione c'è esattamente la derivata del denominatore quindi
$$\int \frac{2y}{y^2+2}dy = \ln(y^2+2)$$
Memo:
$$\int \frac{f^{'}(x)}{f(x)}dx = \ln(|f(x)|)+c$$
Nel nostro caso la variabile è $y$ invece che $x$, $f(y) = y^2+2 \Rightarrow f^{'}(y) = 2y$, e non metto il valore assoluto ad argomento del logaritmo in quanto so già che $y^2+2$ è positivo: $y^2$ è positivo perchè è un quadrato, sommandoci +2 ottengo sempre qualcosa di positivo.
Ora che abbiamo calcolato i due integrali abbiamo quindi che
$$ \int \frac{2y}{y^2+2}dy = \int xdx \\ \ln(y^2+2) = \frac{x^2}{2}+c \\ e^{\ln(y^2+2)} = e^{\frac{x^2}{2}+c} \\ y^2+2 = e^{\frac{x^2}{2}+c} \\ y^2 = e^{\frac{x^2}{2}+c} -2 \\ y = \pm \sqrt{e^{\frac{x^2}{2}+c}-2} $$
Le soluzioni dell'equazione differenziali sono quindi
$$y = \pm \sqrt{e^{\frac{x^2}{2}+c}-2}$$