Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi la seguente equazione

$$\log_3(x-2) = 2$$

Soluzione:

Come prima cosa devo imporre le condizioni di esistenza (C.E.): affinchè l'equazione abbia senso il logaritmo deve esistere e ciò avviene quando il suo argomento è positivo.

$$ \text{C.E.:} \qquad x-2 > 0 \\ \\ \text{C.E.:} \qquad x > 2 $$

Una volta trovate le condizioni di esistenza, posso andare a risolvere l'equazione. In questo caso posso applicare direttamente la definizione di logaritmo: ricordiamo infatti che $\log_a(b)$ è l'esponente che deve avere $a$ per essere uguale a $b$, ossia

$$\log_a(b) = c \; \; \Leftrightarrow \; \; b = a^c$$

Nel nostro caso $a = 3$, $b = x-2$, $c = 2$. Applicando la definizione si ha quindi

$$ \log_3(x-2) = 2 \\ x -2 = 3^2 \\ x-2 = 9 \\ x = 11 $$

Abbiamo quindi trovato una potenziale soluzione $x = 11$. L'ultimo step da fare è controllare se effettivamente la soluzione che abbiamo trovato è compatibile con le C.E.. Dato che le C.E. erano $x > 2$, $x = 11$ soddisfa le C.E. ed è quindi soluzione dell'esercizio.