Esercizio 2 - difficoltà: 1
Risolvi la seguente equazione:
$$\frac{2(x+2)}{x-2} + \frac{6}{x^2-4x+4} = \frac{x}{x-2} +\frac{5x-x^2}{x^2-4x+4}$$
Soluzione:
L'equazione è fratta perchè compare l'incognita $x$ in almeno un denominatore. Rcicordiamo gli step per risolverla:
- scomporre tutti i denominatori;
- porre le condizioni di esistenza (C.E.);
- trovare un unico denominatore comune e sommare le frazioni;
- "togliere" il denominatore comune;
- risolvere l'equazione (non più fratta);
- controllare le C.E. e scegliere le soluzioni.
Procediamo per step e scomponiamo tutti i denominatori.
$x-2$ è già scomposto.
$$ x^2-4x+4 = (x-2)(x-2) \\ = (x-2)^2 $$
dove per scomporre $x^2-4x+4$ o vedo subito che è un quadrato ($x^2$ e $+4$ sono due quadrati e $-4x$ è il doppio prodotto), oppure cerco due numeri che sommati diano $-4$ e moltiplicati diano $+4$ (i due numeri sono $-2$ e $-2$). Vedi l'argomento Scomposizioni per approfondire.
$$\frac{2(x+2)}{x-2} + \frac{6}{(x-2)^2} = \frac{x}{x-2} +\frac{5x-x^2}{(x-2)^2}$$
Poniamo ora le C.E.: prendo ogni singolo fattore (senza ripetizioni) di tutti i denominatori e lo pongo diverso da zero.
Nota: $(x-2)^2 = (x-2)(x-2)$ quindi in tutti i denominatori abbiamo un unico fattore, ossia $x-2$.
$$ C.E. \; x-2 \neq 0 \\ x \neq 2 $$
Che significato hanno le C.E.? Ci dicono per quali valori l'equazione esiste, ossia ha senso. Nel nostro caso, se $x$ fosse uguale a $2$ l'equazione di partenza proprio non esisterebbe. Perchè? Perchè almeno un denominatore sarebbe uguale a $0$...e si può dividere per $0$? No. Quindi le frazioni (divisioni) esistono solo se i denominatori sono tutti diversi da zero.
Procediamo con il denominatore comune: lo trovo prendendo tutti i fattori, comuni e non comuni, di grado maggiore.
Nel nostro caso il denominatore comune è $(x-2)^2$. Sommo insieme tutte le frazioni. Attenzione: vale la somma "classica" fra frazioni. Una volta che ho il denominatore comune, per trovare cosa scrivere a numeratore devo fare (denominatore comune $:$ denominatore) $\cdot$ numeratore.
$$ \frac{2(x+2)}{x-2} + \frac{6}{(x-2)^2} = \frac{x}{x-2} +\frac{5x-x^2}{(x-2)^2} \\ \frac{(x-2) \cdot (2(x+2))+(1)\cdot (6)}{(x-2)^2} = \frac{(x-2) \cdot (x)+(1) \cdot (5x-x^2)}{(x-2)^2} \\ \cancel{D} \cdot \frac{(x-2) \cdot (2(x+2))+(1)\cdot (6)}{\cancel{(x-2)^2}} = \frac{(x-2) \cdot (x)+(1) \cdot (5x-x^2)}{\cancel{(x-2)^2}} \cdot \cancel{D} \\ (x-2)(2(x+2))+6 = (x-2)(x) +(5x-x^2) $$
A questo punto l'equazione non è più fratta: procediamo con i metodi classici.
$$ (x-2)(2(x+2))+6 = (x-2)(x) +(5x-x^2) \\ (x-2)(2x+4)+6 = x^2-2x+5x-x^2 \\ 2x^2+4x-4x-8+6 = x^2-2x+5x-x^2 \\ 2x^2+\cancel{4x}-\cancel{4x}-8+6 = \cancel{x^2}-2x+5x-\cancel{x^2} \\ \downarrow \\ \text{equazione di secondo grado} \\ 2x^2+2x-5x-8+6 = 0 \\ 2x^2-3x-2 = 0 $$
Calcolo $\Delta = (-3)^2-4(2)(-2) = +9+16 = 25$ e
$$ x_{1/2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(2)} \\ = \frac{+3 \pm 5}{4} $$
da cui ottengo le due soluzioni $x = 2$ o $x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Ultimo step importantissimo: controllare se le soluzioni trovate sono compatibili con le C.E. e quindi accettabili.
$x=2$ è accettabile? No perchè le C.E. mi dicevano $x \neq 2$, quindi $x = 2$ non va bene e non è soluzione.
$x=-\frac{1}{2}$ è accettabile? Sì perchè le C.E. mi dicevano $x \neq 2$, quindi $x = -\frac{1}{2}$ va bene ed è la mia unica soluzione finale.