Esercizio 2 - difficoltà: 1

Semplifica la seguente espressione

$$\left[\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\cos\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right]^2+2\cos^2(x)$$

Soluzione:

Noto subito che ad argomento di seno e coseno ci sono somme di angoli che non sono $\pi$ o $\frac{\pi}{2}$: non posso quindi ragionare sugli angoli associati. Devo sapere le seguenti regole di addizione e sottrazione:

$$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta) \\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta) $$

Applicate al nostro caso:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x)-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(x) -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) $$

$$ \cos\left(x+\frac{3}{4}\pi\right) = \cos(x)\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) - \sin(x)\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) \\ = \cos(x) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\sin(x) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) $$

Torniamo all'espressione.

$$ \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\cos\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right]^2+2\cos^2(x) $$

$$ = \left[\frac{\sqrt{2}}{2} \cos(x) -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)- \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right]^2+2\cos^2(x) $$

$$ = \left[\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos(x)} -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)- \cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)} -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right]^2+2\cos^2(x) $$

$$ = \left[-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\sin(x) + \sin(x))\right]^2 +2\cos^2(x) $$

$$ = \left[-\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}} \cdot (\cancel{2} \sin(x) )\right]^2 +2\cos^2(x) $$

$$ = \left[-\sqrt{2}\sin(x)\right]^2 +2\cos^2(x) $$

$$ = +2\sin^2(x)+2\cos^2(x) $$

$$ = +2 \cdot (\sin^2(x) + \cos^2(x)) $$

$$ = +2 \cdot 1 $$

$$ = +2 $$

dove alla fine si è utilizzata la relazione fondamentale $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.