Esercizio 2 - difficoltà: 1
Scrivi l'equazione dell'iperbole con asintoti le rette di equazioni \(y = \pm 2x\) e fuochi nei punti \(A(-\sqrt{5};0)\) e \(B(\sqrt{5};0)\).
Soluzione:
Visto che i fuochi sono sull'asse \(x\) (hanno coordinata \(y\) uguale a zero), stiamo cercando un'iperbole del tipo
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$Dobbiamo trovare \(a\) e \(b\) in modo tale che gli asintoti siano le rette \(y = \pm 2x\) e i fuochi siano i punti dati.
In generale data un'iperbole del tipo \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) sappiamo che gli asintoti hanno equazione \(y = \pm \frac{b}{a} x\). Se vogliamo che gli asintoti siano \(y = \pm 2 x\) deve quindi succedere che
$$\frac{b}{a} = 2$$Sappiamo inoltre che i fuochi hanno coordinate \(F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0)\) e \(F_2(\sqrt{a^2+b^2};0)\). Se vogliamo che un fuoco sia il punto \(A(\sqrt{5};0)\) deve succedere che
$$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5}$$Abbiamo quindi due incognite da trovare (\(a\) e \(b\)) e due equazioni che le coinvolgono: le metto a sistema e lo risolvo.
$$ \begin{align*} & \begin{cases} \frac{b}{a} = 2 \\ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5} \end{cases} \\ & \begin{cases} a \cdot \frac{b}{a} = 2 \cdot a \\ (\sqrt{a^2+b^2})^2 = (\sqrt{5})^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} b = 2a \; \rightarrow \text{sostituisco}\\ a^2+b^2 = 5 \end{cases} \\ & \begin{cases} b = 2a \\ a^2+(2a)^2 = 5 \end{cases} \\ & \begin{cases} b = 2a \\ a^2+4a^2 = 5 \end{cases} \\ & \begin{cases} b = 2a \\ 5a^2 = 5 \end{cases} \\ & \begin{cases} (b)^2 = (2a)^2 \\ a^2 = 1 \end{cases} \\ & \begin{cases} b^2 = 4a^2 = 4 \cdot (1)^1 = 4 \\ a^2 = 1 \end{cases} \end{align*} $$Dato \(a^2 = 1\) e \(b^2 = 4\) l'equazione dell'iperbole cercata è
$$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$$